Основные элементарные функции.

1. Линейная функция.

y=ax+b, где область определения D=R (множество действительных чисел), E=R.

2. Степенная функция.

y=xn, где n=2, 3, …
n - четное число, D=R, E=0;+	n - нечетное число, D=R, E=(-;+
Функция обратной пропорциональности: y=k/x; D=(-¥;0)U(0+¥); Е=(-¥;0)U(0+¥)
k>0	k<0
; n=2,3,4…
n-четное число, D=(-¥;0)U(0+¥); E=(0;+¥)	n-нечетное число, D=(-¥;0)U(0+¥); E=(-¥;0)U(0+¥)

3. Показательная и логарифмическая функции.

y=a^x, где a >0, a 1. D=R, E=(0;+¥).

y=log_ax, где a >0, a ¹1. D=(0;+¥), E=R.

a>1 возрастающие	0 < a < 1 убывающие
y=logax

4. Тригонометрические функции.

Синус: y=sin x, D=R, E=-1;1, T=2p.

Косинус: y=cos x, D=R; E=-1; 1, T=2p.

Тангенс: y=tg x, D=R\/2 + k, kÎZ, E=R, T=p.

Котангенс: y=ctg x, D=R\{k, kÎZ , E=R, T=p.

5. Обратные тригонометрические функции.

y=arcsin x, D=-1;1, E=-/2;/2.

y=arccos x, D=-1; 1, E=0;.

y=arctgx, D=R, E=(-/2;/2).

y=arcctg x, D=R, E=(0; ).

6. Модуль.

y=|x|= , D=R, E=0,+).

Последовательность. Предел последовательности.

Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел).

Задают числовую последовательность с помощью общего члена x_n.

x_n - числовая последовательность с общим членом x_n.

Например: x_n=2;3;4;5;…, x_n=n+1;

a_n=1;1/2;1/3;…, a_n=1\n ;

b_n=-1;1;-1;1,…, b_n=(-1)ⁿ.

1) Определение (на языке ε): Число a называют пределом числовой последовательности x_n, при n стремящемся к бесконечности (n), если для любого, сколь угодно малого, положительного числа , найдется номер последовательности N, зависящий от , начиная с которого выполняется неравенство |x_n–a|<.

 0  N( ):  nN, выполняется |x_n–a|<.

(a-; a+) ‒ -окрестность точки a.

2) Определение (на языке окрестности): Число a называется пределом последовательности {x_n} при n, если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер последовательности N, начиная с которого члены последовательности будут находится в - окрестности точки a.

Пример: Покажем по определению, что пределом числовой последовательности x_n с общим членом x_n= , является число a=0, то есть .

Возьмем сколь угодно малое положительное . Попробуем найти такой номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство

| – 0|<.  >0  N: n>N выполняется | - 0|<. Снимаем модуль –0<. Если перевернуть обе части неравенства, то перевернем знак: n> . В качестве N берется целая часть : N= .

3) , если A0 N: n>N выполняется x_n>A.

, если A<0 N: n>N выполняется x_n<A.

, если A>0 N: n>N выполняется |x_n| > A.