Геометрический смысл дифференциала.
И
з
треугольника:
.
,
где
‒ геометрический смысл производной.
Дифференциал – это приращение ординаты касательной, проведенной к кривой в точке касания x0.
Правила нахождения дифференциала.
Применение дифференциала.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Из рисунка
видно, что приращение функции y
и дифференциал dy
связаны приближенным равенством y
dy.
Поэтому с помощью дифференциала можно
вычислять значения функции
,
если известно x
(приращение):
.
Пример:
Вычислить приближенно
.
Введем
функцию
.
Значение x=1,004,
берем значение
.
=
=1,
=1,004-1=0,004.
Вычислим
дифференциал
=
=
=0,002,
=
=1+0,002=1,002.
Производные высших порядков. Производная высших порядков.
Пусть
функция
имеет производную в каждой точке
некоторого интервала.
- также является функцией от x,
следовательно, ее тоже можно
продифференцировать.
-
производная второго порядка или вторая
производная.
- производная третьего порядка или
третья производная и т.д.
- производная n-порядка.
Обозначаются: y, y, y, yIV или y(1), y(2), y(3), y(4)...
Пример:
,
,
,
,
,
,
.
Механический смысл второй производной.
Вторая
производная есть ускорение a
прямолинейного движения тела в данный
момент времени, выражает зависимость
пройденного пути от времени t,
т.е. если
,
то
.
Уравнение касательной и нормали к кривой.
И
з
пучка прямых, проходящих через точку
,
выберем одну прямую ‒ касательную к
графику функции:
.
Из геометрического смысла производной
угловой коэффициент касательной:
.
.
– уравнение касательной.
Определение: Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной, проведенной в точке касания с абсциссой x0.
Так как
нормаль перпендикулярна к касательной,
то угловой коэффициент нормали:
(из условия перпендикулярности прямых).
Отсюда:
– уравнение нормали.
Пример:
Составить уравнение касательной и
нормали к графику функции
в точке с абсциссой равной 1.
Ордината
точки касания:
Производная:
.
Найдем
значение производной в точке x0:
,
Уравнение касательной:
Уравнение нормали:
.