Размерность и базис линейного пространства.

Определение: Если в ЛП система, состоящая из n векторов ЛНЗ, а любая система с большим количеством векторов ЛЗ, то такое пространство называется n- мерным, а n называют размерностью пространства.

Другими словами, размерность ЛП - это максимальное количество ЛНЗ векторов, помещающихся в этом пространстве.

Определение: Любые n ЛНЗ векторов ЛП размерности n l₁, l₂, ... ,l_n называются базисом ЛП.

Примеры:

1) Любой ненулевой вектор на прямой ЛНЗ и является базисом ЛП всех векторов на прямой.

2) Любые два ненулевых не коллинеарных вектора на плоскости ЛНЗ (любые три вектора на плоскости будут ЛЗ) и образуют базис ЛП всех векторов на плоскости.

3) Можно показать, что любые 3 ненулевых и некомпланарных вектора в пространстве ЛНЗ (любые 4 вектора ЛЗ) и образуют базис ЛП всех векторов в пространстве.

Определение: Три вектора А, В, С ‒ компланарны, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

Теорема о разложении вектора по базису.

Теорема. Любой вектор ЛП разлагается, причем единственным образом, в ЛК базисных векторов этого пространства.

Док-во: Рассмотрим ЛП размерности n с базисом l₁, l₂, ... ,l_n. Вектор а Є ЛП. Система векторов l₁, l₂, ... ,l_n, а содержит (n+1) вектор, а пространство размерности n. Отсюда следует, что система ЛЗ, т.е. линейная комбинация

α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n+α_n+1a = 0, причем среди коэффициентов есть ≠ 0.

Покажем, что коэффициент α_n+1 ≠ 0 от противного. Допустим, что α_n+1 = 0. Тогда α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n+0 a = 0.

Отсюда следует, что α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n = 0 и есть ≠ 0 коэффициент.

Получили противоречие тому, что базис l₁, l₂, ... ,l_n – ЛНЗ.

Отсюда следует α_n+1 ≠ 0.

Следовательно, мы доказали, что коэффициент α_n+1 ≠ 0.

Разделим на коэффициент α_n+1:

Отсюда следует, что вектор а - ЛК базисных векторов.

Докажем единственность разложения базиса от противного.

Пусть есть два разложения вектора а по базису.

a = α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n

a = β ₁ l₁+ β ₂ l₂+ ... + β _n l_n

0 = (α₁- β₁) l₁+ (α₂- β₂) l₂+ … + (α_n- β_n) l_n.

Т.к. базис - ЛНЗ, то коэффициенты α₁- β₁=0, α₂- β₂=0, α_n- β_n=0.

Отсюда следует α₁=β₁, α₂=β₂ , α_n=β_n, т.е. коэффициенты совпали. Единственность разложения доказана.

Ч.т.д.

Координаты вектора в данном базисе. Операции с векторами в координатной форме.

Рассмотрим в ЛП размерности n базис l₁, l₂, ... ,l_n. Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базиса х = α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n (по теореме о разложении по базису), х Є ЛП.

Определение: Упорядоченный набор чисел, участвующий в разложении вектора по базису (α_1, α_2,… α_n) называется координатами этого вектора в данном базисе.

х =(α_1, α_2,… α_n) – координаты вектора ЛП.

Операции:

1) Для того, чтобы сложить два вектора ЛП в координатной форме нужно сложить их соответствующие координаты.

Док-во: Возьмем два вектора ЛП.

+

х =(α_1, α_2,… α_n)= α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n

у = (β_1, β₂, … β_n)= β₁ l₁+ β₂l₂+…+β_n l_n

х + у = (α₁ +β₁, α₂ +β_2,… α_n +β_n) = (α₁ + β₁)l₁+(α₂ + β₂)l₂+…+(α_n +β_n) l_n.

Ч.т.д.

2) Чтобы вектор в координатной форме умножить на число нужно каждую координату умножить на это число.

Док-во: х =(α_1, α_2,… α_n)= α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n.

λ х = (λ₁α_1, λ₂α_2,… λ_nα_n)= λ₁α₁ l₁+ λ₂α₂ l₂+ … +λ_nα_n l_n.

Ч.т.д.