Гипербола.

Определение: Гиперболой называют множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а, меньшая, чем расстояние между фокусами, но больше 0.

Расположим гиперболу так, чтобы фокусы находились на оси ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат.

│F₁F₂│=2c.

F₁ (-c, 0) - левый фокус, F₂ (с, 0) - правый фокус.

т. М (х, у)- текущая точка гиперболы.

По определению: │F₁ M│-│F₂M│=2a.

- каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем это уравнение:

1) Так как уравнение чётно по х и по у, то гипербола симметрична относительно осей ОХ и ОУ. Следовательно, построим ее в первой четверти и сделаем симметрию относительно осей координат.

Выразим из уравнения у:

Так как x²- a² ≥ 0, тогда (х-а) (х+а) ≥ 0.

2) При x= a: y= 0. При возрастании х, увеличивается у. При х гипербола стремится к прямой .

т. А (а, 0) - правая вершина гиперболы, т. В (-а, 0) - левая вершина.

- асимптота.

- осевой прямоугольник.

[0, а] - на ОХ действительная полуось гиперболы.

[0, b] - на ОУ мнимая полуось.

с - фокусное расстояние.

с²= а²+ b² - соотношение для гиперболы.

Мера сжатия эксцентриситет . Так как а < с, отсюда следует, что ε> 1.

Пример. Дано а=3, ε=2. Найти фокусы, асимптоты, каноническое уравнение, построить чертеж гиперболы.

Парабола.

Определение: Параболой называют множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы).

Расположим параболу так, чтобы начало координат находилось посредине между F и директрисой, причем фокус лежал на оси ОХ.

Обозначим расстояние между F и директрисой - p.

Фокус: F( ).

уравнение директрисы: х= _.

т. М (х, у) - текущая точка параболы.

По определению параболы: │FM│=│NM│.

- каноническое уравнение параболы.

Анализ:

Так как уравнение четно по у, то парабола симметрична относительно оси ОХ.

При х= 0: у= 0. С возрастанием х, увеличивается у.

P - параметр параболы.

т. О(0,0) - вершина.

: ось симметрии - ось ОХ, p > 0 -график ; p < 0- график .

А налогично можно вывести каноническое уравнение параболы с осью симметрии ОУ.

: ось симметрии – ось ОУ, p > 0 –график ; p < 0- график .

Сфера в пространстве.

Определение: Сферой называют множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки (центр сферы) на заданное расстояние (радиус сферы).

Пусть центр сферы С(a, b, c), радиус R, т. М (х, у, z) - текущая точка сферы.

По определению: │СМ│= R.

- нормальное уравнение сферы.

Если центра сферы - О(0, 0, 0), тогда

x²+ y²+ z²= R² - каноническое уравнение сферы.

Замечание:

В пространстве различают поверхности двух видов:

1) поверхности первого порядка Ax+ By+ Cz+ D= 0 (уравнение плоскости)

2) поверхности второго порядка

Ax²+ By²+ Cz²+ 2Dxy+ 2Fyz+ Kx+ My+ Nz+ L= 0.

Примером поверхности второго порядка служит сфера, остальные поверхности второго порядка: цилиндры, конусы, параболы и другие.

Скалярное произведение	Векторное произведение	Смешанное произведение
Определение
число а•b=│а│·│b│cos φ	ab= вектор с, что 1 │с│=│a│·│b│sin φ, где = a,b 2 вектор ca, cb, т.е. с  плоскости, в которой лежат вектора а и b. 3 кратчайший поворот от вектора a к b, видимый с конца вектора с будет против часовой стрелки.	число аbc= (ab) • с
Свойства
1° a • b = b • a 2° a • b= 0, т.к. a ┴ b 3° (λa)• b= λ(a• b) 4° a•(b + c)= a• b + a• c 5° а • а= │a│2	1 антикоммунитативность ab= -ba 2 (λa)b= λ (ab) 3 a(b + с)= ab + aс 4 a  а= 0	1° abc= - bac= bca= ... 2° (λa)bc= λ(abc) 3° (a+ b) cd= acd+ bcd 4° ijk= (i×j)· k= k· k= │k│2= 1 ijk= 1
Вычисление в координатной форме
a•b= ax bx + ay by + az bz
Приложения
1) 2) - острый, cos>0, отсюда следует: a•b> 0.  - тупой, cos<0, отсюда следует: a•b< 0. =90, cos=0, отсюда следует: a•b= 0. 3)	1) Sпар=│a  b│ 2) 3) a║b, отсюда следует, что │ ab│= 0.	1) Vпарал= │abc│ 2) Vтетр= Vпарал Vтетр = │abc│ 3) если abc>0, то тройка векторов правая; если abc<0, то тройка векторов левая. 4) abc – компланарные: abc=0.