2. О вычислении пределов

Напомним основные правила вычисления пределов.

1. Предел последовательности

Пусть n-й член последовательности задается формулой , где f – функция, определенная на промежутке , для которой существует . Тогда

.

2. Предел сложной функции

Если функция f непрерывна в точке , то

.

3. Замена функций на эквивалентные

Функции и называются эквивалентными при , если . Обозначение: при .

Если , при , то

.

Имеют место следующие основные эквивалентности:

1) при ( );

2) , , , , , при .

2. Примеры решения задач

1. Исследовать сходимость ряда .

◄ Применим признак Даламбера. Общий член ряда .

Поэтому

.

Составим отношение

и вычислим предел

.

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится. ►

2. Исследовать сходимость ряда³ .

◄ Применим признак Даламбера.

.

Следовательно, по признаку Даламбера, ряд сходится. ►

3. Исследовать сходимость ряда .

◄ Применим корневой признак Коши.

.

Ряд сходится по корневому признаку. ►

4. Исследовать сходимость ряда .

◄ Попытка применить признак Даламбера не приводит к успеху, поскольку .

Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция , , удовлетворяет условиям интегрального признака – она непрерывна, положительна и убывает, а . Согласно интегральному признаку мы должны исследовать сходимость следующего несобственного интеграла

.

Так как предел получился конечный, то несобственный интеграл сходится. По интегральному признаку сходится и рассматриваемый ряд. ►

5. Исследовать сходимость ряда .

◄ Применим интегральный признак Коши. Функция , , удовлетворяет условиям интегрального признака – она непрерывна, положительна и убывает, а . Рассмотрим несобственный интеграл

.

Так как предел получился бесконечный, то несобственный интеграл расходится. По интегральному признаку расходится и рассматриваемый ряд. ►

6. Исследовать сходимость ряда .

◄ Применим интегральный признак Коши. Функция , , удовлетворяет условиям интегрального признака – она непрерывна, положительна и убывает, а .

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Поскольку предел оказался конечным, то несобственный интеграл сходится. Согласно интегральному признаку сходится и рассматриваемый ряд. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

Исследовать сходимость рядов с помощью признака Даламбера.

.

.

Исследовать сходимость рядов, используя корневой признак Коши.

.

.

Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака Коши.

.	.
.	.

Исследовать сходимость рядов.

.	.
.	.
.	.
.	.