Внимание! Домашнее задание для 6 класса

1. Внимательно еще раз просмотрите решение задач, разобранных в классе (ниже приведены решения всех задач).

2. Решите №№11(в), 12-14 из раздела Занимательные задачи (как необязательные, ибо они повышенной трудности, на баллы).

3. Подготовиться к самостоятельной работе по теме «Натуральные числа и нуль» (см. Классную тетрадь, где разобраны примерные задачи).

Повторение курса математики 5 класса

1. Автотурист отправился в путешествие на четырехколесном автомобиле с одним запасным колесом. По дороге он менял колеса с таким расчетом, чтобы каждое колесо проехало один и тот же путь. Определите, сколько километров проехало каждое колесо, если автомобиль проехал 4000 км?

Решение. Если бы колеса не меняли, то каждое из 4 колес проехало бы 4000 км, а суммарный пробег колес составил бы 16000 км. Так как 5 колес изнашивались равномерно, то каждое из них проехало 16000:5 = = 3200 км.

2. На столе лежат девять спичек (рис. 5). Расположите их так, чтобы в каждом горизонтальном ряду было: а) по 4; б) по 6; в) по 9; г) по 11.

Это задача-шутка, но на ней проверяется знание римской нумерации.

Решение. Спички надо расположить так:

а) IV б) VI в) IX г) XI

IV VI IX XI

IV VI IX XI

3. Из спичек сложили шесть неверных равенств:

Рис. 5 Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы равенства стали верными.

Решение. а) XII – IX = III; б) V – IV = I; в) X – VII = III;

г) XI – X = I или X – IX = I; д) VI + V = XI; е) IV = I + V – II.

4. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

Решение. Основная идея решения задачи заключается в том, что если из суммы возрастов трех девочек вычесть сумму возрастов двух из них, то получится возраст третьей девочки.

Так как Вере, Наде и Любе вместе 38 лет, а Вере и Наде вместе 28 лет, то Любе 38 – 28 = 10 (лет). Так как Наде и Любе вместе 23 года, а Любе 10 лет, то Наде 23 – 10 = 13 (лет). Так как Вере и Наде вместе 28 лет, а Наде 13 лет, то Вере 28 – 13 = 15 (лет).

Для сравнения можно привести еще одно решение.

Обозначим количество лет Веры, Нади и Любы соответственно В, Н и Л. Тогда условия задачи можно записать в виде трех верных равенств:

В + Н + Л = 38,

В + Н = 28,

Н + Л = 23.

Вычитая из первого равенства второе, а потом третье, получим, что Л = 10, В = 15. Теперь легко вычислить возраст Нади:

Н = 38 – 10 – 15 = 13.

Ответ. Вере 15 лет, Наде 13 лет, Любе 10 лет.

5. В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Mарки коллекционируют 8 человек, монеты — 5, а всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько — только монеты?

Решение. Объяснение простое: некоторые учащиеся коллекционируют и марки, и монеты.

1) 11 – 5 = 6 (чел.) — коллекционируют только марки;

2) 11 – 8 = 3 (чел.) — коллекционируют только монеты.

Р ешать задачи 309 помогает наглядное представление условия задачи с помощью «кругов Эйлера» (рисунок 6, а).

Рис. 6

6. Коля написал два раза свое имя . Его сосед по парте заметил, что Коля может прочитать свое имя более чем 10 способами, и показал один из них . Сколькими способами Коля может прочитать свое имя?

Решение. I способ. Читая слово КОЛЯ, к каждой букве О можно прийти двумя способами (от верхней буквы К и от нижней), к каждой букве Л — четырьмя способами (два способа через верхнюю букву О и два — через нижнюю), к каждой букве Я — восемью (четыре способа через верхнюю букву Л и четыре — через нижнюю), а всего прочитать слово можно шестнадцатью способами (8 + 8 = 16).

К О₂ Л₄ Я₈

К О₂ Л₄ Я₈

II способ. Можно рассуждать иначе. Букву К можно выбрать двумя способами, в каждом из них букву О можно выбрать двумя способами, т. е. прочитать КО можно четырьмя способами (22 = 4). В каждом из этих 4-х случаев букву Л можно выбрать двумя способами, т. е. прочитать КОЛ можно восемью способами (42 = 8). В каждом из этих 8-ми случаев букву Я можно выбрать двумя способами, т. е. прочитать слово КОЛЯ можно 16-ю способами (82 = 16). Вычисления можно записать коротко: 2222 = 16.

7. На рисунке показано, как можно прочитать слово «МАРШРУТ». Подсчитайте число всех способов, которыми можно прочитать это слово.

Решение. Если считать, что переходить от буквы к букве можно только в соседнюю клетку следующего столбца, то рассуждения, аналогичные приведенным выше (№ 316), приводят к таблице

М Р₂ Р₆ Т₁₈

А₂ Ш₆ У₁₈

М Р₄ Р₁₂ Т₃₆

А₂ Ш₆ У₁₈

М Р₂ Р₆ Т₁₈

Остается сложить числа: 18 + 36 + 18 = 72. Имеется 72 способа прочитать слово МАРШРУТ.

Однако, если считать, что можно переходить в клетку следующего столбца (не обязательно соседнюю), то имеется 648 способов прочитать слово МАРШРУТ (3232323 = 648).

8. Учащиеся выполняли задание, в котором требуется найти пропущенные числа:

У них получились разные ответы:

Найдите правила, по которым ребята заполнили клетки, и придумайте еще одно решение.

Решение. 1) Сумма двух первых чисел в строке равна третьему;

2) разность чисел в столбце равна 8;

3) сумма трех чисел в строке равна 80.

Другие решения (см. рис. 10):

4) произведение двух первых чисел в строке равно третьему;

5) сумма трех чисел в строке равна 81;

6 ) сумма трех чисел в строке равна 82.

Рис. 10

9. Докажите, что предыдущая задача имеет бесконечно много решений.

Решение. В предыдущем задании показано, как образовать суммы трех чисел в строке, равные 80, 81, 82, ... . Этот ряд чисел можно продолжать бесконечно, поэтому задача имеет бесконечно много решений.

10. Имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана: 7 л воды?

Решение задачи показано в таблице:

Ходы	1	2	3	4	5	6	7	8
8 л	—	5	5	8	—	2	2	7
5 л	5	—	5	2	2	—	5	—

11. Из нескольких монет только одна фальшивая — она легче настоящих. Как с помощью чашечных весов без гирь определить фальшивую монету:

а) за одно взвешивание, если монет 3;

б) за два взвешивания, если монет 9;

в) за три взвешивания, если монет 27?

Решение. а) Положим по 1 монете на каждую чашку весов, 1 монета останется на столе. Если весы придут в равновесие, то фальшивая монета на столе, если нет — фальшивая монета та, что легче. Итак, за одно взвешивание можно определить одну фальшивую монету из трех.

б) Положим по 3 монеты на каждую чашку весов, 3 монеты останется на столе. Первое взвешивание позволяет определить тройку монет, среди которых одна фальшивая. Вторым взвешиванием из трех монет определим одну фальшивую (см. выше).

12. Однажды Черт предложил Бездельнику заработать. — Как только ты перейдешь через этот мост, — сказал он, — так твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки. Бездельник согласился и... после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала?

13. Три брата получили 24 яблока, причем младшему досталось меньше всех. Видя это, младший брат предложил такой обмен яблоками: «Я оставлю себе половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну. После этого пусть средний брат, а за ним старший поступят так же». Братья согласились. В результате у всех яблок стало поровну. Сколько яблок было у каждого первоначально?

14. Старинная задача. Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на две недели, причем сказал: «За это я тебе в первый день заплачу 1 р., во второй день — 2 р., в третий день — 3 р. и т. д. Словом, каждый день я буду прибавлять тебе по одному рублю, так что за один только четырнадцатый (последний) день я заплачу 14 р. Ты же будешь мне подавать милостыню: в первый день копейку, во второй — 2 к., в третий день — 4 к. и т. д., увеличивая каждый день свою милостыню вдвое». Богач с радостью согласился на такие условия, которые ему показались выгодными. Какой барыш принесла эта сделка богачу?