Інтерполяційний многочлен Лагранжа

Многочлен шукаємо у вигляді лінійної комбінації многочленів степеня . І щоб виконувалися умови (1): , будемо, вимагати, щоб кожен многочлен обертався в нуль в усіх вузлах інтерполяції, за винятком одного і-го вузла, де він повинен дорівнювати одиниці. Таким чином отримаємо .

Очевидно, що умовам ( ) буде задовольняти многочлен

,

який не містить множника , а щоб виконувалася умова візьмемо

= .

Таким чином , (0)

або скорочено = .

Інтерполяційний многочлен, представлений у вигляді (3), називають інтерполяційним многочленом Лагранжа, а функції – лагранжевими коефіцієнтами.

Часткові випадки:

Лінійна інтерполяція (інтерполюємо за двома точками)

Квадратична інтерполяція (інтерполюємо за трьома точками)

Зразок виконання завдання

Завдання: наближено відбудувати функцію , що задана таблицею, за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа.

і	0	1	2	3
xi	-2	-1	1	2
yi	13	6	4	21

Розв’язання: Інтерполяційний многочлен Лагранжа для заданої ф-ї матиме вигляд

+ +

+ + .

або підставивши числа

=

Інтерполяційна формула Лагранжа має два суттєвих недоліки:

1. формула громіздка – кожен доданок є многочленом n-го степеня;

2. якщо з додавати нові вузли інтерполювання (наприклад, якщо отримана інтерполяційна формула неточна), то всі обчислення необхідно повторювати знову – ні один із доданків формули Лагранжа не зберігається.

Розглянем форму запису інтерполяційного полінома Р_n(х), яка допускає уточнення результатів інтерполяції послідовним додаванням нових вузлів. При цьому будем використовувати таке поняття як розділені різниці функцій.

Розділені різниці функцій

Нехай маємо функцію f(x) і не обов"язково рівновіддалені вузли інтерполяції х_і (і=0, 1, 2, … , n).

Розділеними різницями 1-го порядку називають величини, які мають зміст, наприклад, середніх швидкостей зміни функції:

, (наближене значення 1-х похідних)

Розділені різниці 2-го порядку визначаються через різниці 1-го порядку.

, (набл. 2-гі похід.)

Аналогічно, розділена різниця k−го порядку визначається через розділені різниці (k−1) порядку за рекурентною формулою:

Розділені різниці зручно обчислювати та записувати у вигляді таблиці

xi	x0	x1	x2	x3	x4	x5
yi	y0	y1	y2	y3	y4	y5

Інтерполяційна формула Ньютона

Будемо шукати інтерполяційний многочлен у вигляді:

Це многочлен n-го степеня. Значення коефіцієнтів знайдемо з умови співпадання значень вихідної функції та многочлена у вузлах інтерполяції:

, .

Покладаючи , знаходимо .

Для :

Для , і. т. д. отрим.

тоді

. (0)

Вираз (4) називається інтерполяційним поліномом Ньютона для заданої функціії. Ця форма запису більш зручна для застосування, оскільки при додаванні до вузлів нового всі обчислені раніше члени залишаються без зміни, а у формулу додається тільки один доданок. При застосуванні ж формули Лагранжа треба робити всі обчислення знову.

Приклад. Знайти інтерполяційний поліном Ньютона:

і	0	1	2	3
yi	13	6	4	21
xi	-2	-1	1	2
1
2
3

При n = 4 інтерполяційний поліном Ньютона буде мати вигляд:

N_n(x) = y₀ + (x − x₀)f(x₀; x₁) + (x − x₀)(x − x₁)f(x₀; x₁; x₂) +

+ (x − x₀)(x − x₁)(x − x₂)f(x₀; x₁; x₂; x₃) (0)

або підставивши вхідні дані та значення розділених різниць отримаємо

N₃(х) = 13 + (х + 2)·(−7) + (х + 2)(х + 1)·2 + (х + 2)(х + 1)(х − 1)·1 =

Самостійно: перевірити умови N₃(х_i) = y_i , зокрема, що N₃(2) = 21.

Зауважимо, що у формулу (5) входять різниці розміщені по лівому краю таблиці і точки добавляються у порядку зростання, тому вираз (4) ще називають інтерполяційною формулою Ньютона вперед. Однак аналогічну формулу можна отримати якщо починати інтерполяцію з правого краю від останньої точки і отримаємо інтерполяційну формулу Ньютона назад:

N_n(x) = y₃ + (x − x₃)f(x₂; x₃) + (x − x₃)(x − x₂)f(x₁; x₂; x₃) +

+ (x − x₃)(x − x₂)(x − x₁)f(x₀; x₁; x₂; x₃) (0)

або підставивши числа і розкривши дужки

N₃(х) = 21 + (х − 2)·17 + (х − 2)(х − 1)·6 + (х − 2)(х − 1)(х + 1)·1 =