2. Формулировка задачи

Введем декартовы и сферические координаты .

Рис. 1. Декартовы и сферические координаты для нашей задачи

Рассмотрим жидкость, покоющуюся в безграничном конусе (Рис. 1). Добавим стокслет на ось конуса, в точку в декартовой системе координат. Стокслет – это точечная сила, приводящая в движение жидкость. Он задается соответствующим тензором Озеена, являющимся функцией Грина, и определяет векторное поле скоростей течения [2]

, . (1)

Компоненты скоростей в направлениях , и могут быть найдены через преобразования физических координат вектора (Корн, 1968). Ограничимся рассмотрением осесимметричного случая, т.е. компоненты скоростей стокслета зависят лишь от и . Среди трех возможных видов стокслеты только один удовлетворяет условию . Это стокслет с компонентами . Тогда компоненты в направлениях , и выглядят следующим образом:

,

,

. (2)

Поток Стокса в осесимметричном случае характеризуется функцией тока [7]. Компоненты скоростей в этом случае:

,

. (3)

Интересно найти линии тока жидкости, движимой стокслетом . Поставим задачу. Уравнение Стокса в осесимметричном случае следующее:

, (4)

где оператор называется оператором Стокса и определен следующим образом:

. (5)

Предположим, что конус непроницаем, и на его границе выполняются условия прилипания и .

Обратимся еще раз к стокслету . Используя (3), заметим . Таким образом, решив, например, уравнение в полных дифференциалах, можно найти функцию стокслета , действующего во всем пространстве:

. (6)

Рис.2. Линии тока стокслета, расположенного в точке , действующего в неограниченном пространстве

Тогда общая функция тока будет иметь две аддитивные компоненты . Оператор линеен, следовательно . Граничные условия: . Можно убедиться, что функция тока удовлетворяет уравнению Стокса . Зная функцию тока и компоненты скоростей стокслета и , переформулируем задачу

, . (7)

Общее решение уравнения (7) известно [7]

, (8)

где и - функции Гегенбауэра первого и второго рода, соответственно. Они линейно связаны с функциями Лежандра и :

. (9)

Поскольку нас интересует гладкое решение (в природе переформулированной задачи нет особенностей), то все коэффициенты с волной должны быть равны нулю [7], тогда компоненты скорости движения жидкости имеют вид:

,

. (10)

Оставшиеся коэффициенты определим из двух граничных условий. Предположим, что в нуле, , особенности нет. Тогда не участвуют в искомом решении и в компонентах скоростей, и функция тока выглядит следующим образом

,

,

. (11)

Разложим компоненты скоростей на границе по ортогональным полиномам Лагерра. Поскольку система полиномов Лагерра с весовой функцией полна в пространстве , то произвольная функция , определённая на промежутке и удовлетворяющая некоторым условиям, которые будут описаны ниже, может быть представлена в виде бесконечного ряда по полиномам Лагерра [13]

, , (12)

где коэффициенты определяются следующим образом:

. (13)

Существует теорема, утверждающая, что если функция кусочно-гладкая на всяком открытом интервале и, кроме того, интеграл имеет конечное значение, то ряд (12) с коэффициентами (13) сходится, и его сумма равна в каждой точке , где эта функция непрерывна. Для конкретных значений параметров угла раствора конуса и расположения стокслета, точки , можно убедиться в том, что функции скоростей стокслета на границе конуса и непрерывны и удовлетворяют условиям теоремы, следовательно, разложение по полиномам Лагерра имеет место и выглядит следующим образом:

,

.

Попробуем также разложить по полиномам Лагерра компоненты составляющей скорости жидкости и на границе:

,

. (15)

Для этого воспользуемся известным разложением степенной функции по полиномам Лагерра. В частности, если показатель степени – целое положительное число, то ряд содержит конечное число членов

,

(16)

Проведем разложение по простейшим полиномам Лагерра, то есть по таким полиномам , для которых . Тогда выражение для степенной функции упрощается:

. (17)

Теперь будем рассматривать конечные суммы из слагаемых ряда вместо бесконечных сумм, и после некоторых преобразований получаем следующие выражения для скоростей на границе: разложение скоростей стокслета и :

,

,

разложение дополнительных компонент скорости и :

,

, (19)

и после некоторых преобразований получим системы линейных алгебраических уравнений для отыскания соответствующих констант.

Далее аргумент функций Лежандра и функций Гегенбауэра опустим для краткости.

Система для определения коэффициентов и :

,

.

Последующие коэффициенты можно последовательно найти, используя уже вычисленные, то есть, для любого :

,

. (21)

Последние несколько коэффициентов находятся однозначно через все предыдущие

,

,

. (22)