УДК 517.28

Математическое моделирование течения жидкости, вызванного стокслетом, в конусе к.Н. Кызьюрова

ksenia.kyzyurova@gmail.com

Рассматривается осесимметричный поток Стокса в бесконечном правильном круговом конусе с источником вихрей на своей оси (стокслетом), решается краевая задача для функции тока. Получена картина линий тока. Выявлена вихревая структура потока. Результаты могут быть использованы для построения нанореакторов при проведении химических реакций в строго локализованных наноразмерных пространственных областях.

Ключевые слова: поток Стокса, стокслет, осесимметричное течение.

1. Введение

В настоящее время исследование течения жидкости в нанотрубках стало одним из актуальных вопросов наногидродинамики. Течение такого рода происходит при малых числах Рейнольдса, таким образом, инерционными членами можно пренебречь и рассматривать медленные вязкие течения, описывающиеся уравнениями Стокса. Рассмотрим следующий модельный объект: конус, у которого в некоторой точке на оси находится точечная сила, стокслет, представляющая собой бесконечно малую область пространства и приводящая в движение жидкость. Ранее было получено решение задачи о медленном установившемся течении через конический диффузор [7]. Устойчивое осесимметричное течение в бесконечном правильном круговом конусе при ненулевых числах Рейнольдса также было исследовано [1]. Он нашел вид функции тока, решения уравнений Навье-Стокса, а также его асимптотическое разложение.

Ползущий осесимметричный поток вязкой жидкости около вершины конуса рассматривался в [24]. Он показал существование бесконечной последовательности вихрей около вершины для значений полу-углов конуса меньше 80.9°. В [9] рассматривался осесимметричный поток жидкости, вызванный вращением небольшой сферы с некоторой угловой скоростью. Классический обзор этих и других результатов приведен в работе [8]. В работе [16] была разработана теория, приводящая к новому множеству собственных функций Стоксова потока, описывающих осесимметричные течения около вершины в конических областях, образованных как пересечение конуса, кругового в поперечном сечении, и сферы, центрированной в вершине конуса. Позже в [12] было найдено численное решение задачи о возникновении вихрей в закрытом движущемся конусе вследствие вращения небольшой сферы.

Вязкий Стоксов поток несжимающейся жидкости в круговом конусе, вызванный ненулевой скоростью, установленной на границе конуса в пределах кольца , где – расстояние от вершины конуса, рассматривался в [17]. Более того, структуры типа конус в конусе и, соответственно, движение жидкости между двумя соосными конусами под воздействием источника , находящегося в вершине внешнего конуса, исследовалось в [6].

Движение жидкости под воздействием такой особенности как стокслет около плоскости рассматривалось в статье [2]. [23] исследовали поток в сферической области, вызванный стокслетом. Движение жидкости под воздействием стокслета в области между двух плоскостей было изучено в [14], в области, ограниченной бесконечной трубой, – в [15]. Бесконечная цепочка из стокслетов рассмотривалась в [21].

С математической точки зрения стокслет может быть строго введен в рамках теории самосопряженных расширений симметрических операторов [19] и [4].

Таким образом, интерес представляет исследование движения жидкости в конусе под воздействием стокслета. В данной работе задача рассматривается в приближении Стокса. Результат этой работы предлагает новый метод решения частного, осесимметричного, случая течения жидкости, вызванного стокслетом, внутри конуса.