5.2. Средняя арифметическая и ее свойства

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная).

Предположим, пять торговых центров фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц:

Торговый центр	А	Б	В	Г	Д
Товарооборот (млн.руб.)	130	142	125	164	127

Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в расчете на один центр, необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:

Средняя арифметическая взвешенная.

Сделка	Количество проданных акций, шт.	Курс продажи, руб.
1 2 3	500 300 1100	1080 1050 1145

Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи 1 акции:

На практике наиболее часто встречаемая при расчете средних ошибка заключается в игнорировании весов в тех случаях, когда эти веса в действительности необходимы. Предположим, имеются следующие данные:

Средние цены оптовых рынков на товар а

Оптовый рынок	Средняя цена (руб./шт.)
1 2	43 41

Можно ли по имеющимся данным определить среднюю цену данного товара по двум рынкам, вместе взятым?

Итак, использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример:

Распределение менеджеров корпорации по возрасту

Возраст (лет)	Число менеджеров (чел.)
до 25 25 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 и более	7 13 38 42 16 5
Итого:	121

Для определения среднего возраста управленческого персонала найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими

Свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете.

1.

2.

3.

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при С:

4.

5.

6.

.

Другие виды средних

При расчете статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако, в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная. Данная форма используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе:

Таблица 5.4.

Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально-Черноземному району (в хозяйствах всех категорий)

Область	Валовый сбор, тысяч тонн	Урожайность, ц/га
Белгородская Воронежская Курская Липецкая Тамбовская	97 204 0,5 16 69	16,1 9,5 4,8 10,9 7,0

Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры в среднем по нескольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам и т.п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения:

Общий валовой сбор мы получим простым суммированием валового сбора по областям.

Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить,

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид:

Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин., второй - 14 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая:

Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая:

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го порядка и более высоких порядков.