Постановка задачи по расчету орбиты движения планеты.
В
качестве примера решения основной
задачи механики с помощью метода
численного интегрирования рассмотрим
расчет движения орбиты планеты** вокруг
Солнца. Предположим, что Солнце бесконечно
тяжелое в том смысле, что его движение
не будет приниматься в расчет. Допустим,
что планета начинает свое движение в
известное точке и имеет в этой точке
определенную скорость (начальные
условия). Планета движется вблизи Солнца
по какой-то кривой, и мы попытаемся
определить с помощью уравнений движения
Ньютона и его же закона всемирного
тяготения,
что это за кривая. В некоторый (начальный)
момент времени планета находится в
каком-то определенном месте; на расстоянии
от
Солнца; в этом случае на нее действует
сила
,
направленная по прямой к Солнцу:
(см. рис. 1). Чтобы рассуждать дальше, надо
выяснить какое ускорение
вызывает эта
сила. Выберем
координатную систему X, Y, Z таким образом,
чтобы Z-координата как скорости,
так и силы равнялась нулю. Тогда не будет
никаких
причин у планеты в своем движении выйти
за плоскость XY, и задача станет двумерной.
Из рис. 1 видно, что горизонтальная
компонента силы (
)
так относится к полной ее величине
,
как координата
относится
к расстоянию
(
).
Это следует из подобия треугольников.
Кроме того, если
положительна,
то
отрицательна,
и наоборот.
Таким
образом
или
и соответственно
.
С использованием второго закона Ньютона имеем:
(16)
Именно
эту систему уравнений мы и должны решить.
Видно, что уравнения (16) связывают
значения ускорений
и
с координатами планеты x,y в любой момент
времени:
;
,
т.е. есть все предпосылки для использования
метода численного интегрирования
(уравнение 14).
Упростим
себе задачу тем, что положим
(
– гравитационная постоянная,
– масса Солнца). Это всегда
можно
сделать соответствующим выбором системы
единиц измерения физических величин.
Тогда значения
,
,
,
,
,
и
будут исчесляться в неких условных
единицах, что, однако, не повлеяет на
физическую сущность рассматриваемой
задачи.
Итак:
; 
;
(17)
Конкретный пример решения.
Пусть заданы начальные условия в виде:
; 
; 
;
; 
; (18)
Отсюда находим:
; 
;
; 
;
Возьмем
интервал времени (шаг интегрирования)
.
Вычислим
компоненты
и
по уравнению (15):
А теперь начнем основной расчет по уравнению (14):
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
и т.д.
Рис. 2. График движения планеты вокруг Солнца
В результате мы будем получать координаты планеты с течением времени, и приблизительно за 20 шагов интегрирования будет прослежена половина пути нашей планеты вокруг Солнца (см. рис. 2). Точки представляют собой последовательное положение планеты через каждую десятую долю выбранной нами единицы времени. Видно, что планета сначала двигалась быстро, а затем – все медленней и медленней. Видна так же и форма кривой движения планеты. Итак, мы теперь реально знаем, как можно вычислить движение планет, зная, какая сила на них действует!