МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИРОДЫ, ОБЩЕСТВА И ЧЕЛОВЕКА «ДУБНА»

КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

РАСЧЕТ

ОРБИТЫ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТЫ

МЕТОДОМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Практическая работа

Разработал: д.т.н. Гребенкин М.Ф.

Дмитров 2002

1. Цель работы:

Цель данной работы заключается в том, чтобы студент на основе решения конкретной практической задачи (расчет орбиты движения планеты вокруг Солнца) более глубоко понял суть кинематических и динамических уравнений механики, познакомился с основной задачей механики и практически овладел методом численного интегрирования уравнений механики, как универсального метода решения такого типа задач.

Литература: Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. «Фейнмановкие лекции по физике», том 1, глава 9, п. 4, 5, 6. Издательство «Мир», Москва, 1967 г.

Дополнительно: «Физика. Механика. 9 класс». Учебник под редакцией Г. Я. Мякишева. Москва. Издательство «Дрофа», 1997 г. п.2.9, 2.10.

2. Основная задача механики.

В случае классической механики с помощью законов Ньютона можно не только объяснить наблюдаемые механические явления, но и предсказывать их течение.

Основная (прямая) задача механики состоит в нахождении положения и скорости тела в любой момент времени, если известны его положение и скорость в начальный момент времени и действующие на него силы.

Эта задача решается с помощью второго закона Ньютона – основного закона классической механики:

, (1)

где – масса тела, – ускорение тела, , , и т.д. – действующие на тело силы ( ).

Введя декартову систему координат уравнение (1) можно переписать в виде:

(2)

,

где , , , , , , , , – соответственно проекции вектора ускорения и векторов сил , и т.д. на координатные оси X, Y, Z.

Уравнения (1) и (2) называются динамическими уравнениями. Кроме них при решении основной задачи механики используются кинематические уравнения, связывающие координаты, скорость и ускорение тела:

; ; ; (4)

; ; ; , (5)

где – скорость тела.

; ; ; , (6)

Таким образом, если известны действующие на тело силы ; и т.д., т.е. силы известны в каждой точке пространства и в каждый момент времени, то решение основной задачи механически сводится к решению дифференциального уравнения:

(7)

или системой уравнений:

(8)

Как известно уравнения (7) или (8) имеют много решений, поэтому для однозначного определения положения и скорости тела в данный момент времени необходимо знать положение и скорость тела в начальный момент времени, т.е. другими словами, надо знать (или задать) начальные условия:

, (9)

или

;

; (10)

; ,

полагая, что в начальный момент времени .

Если с точки зрения математики решение основной задачи механики сводится к решению дифференциального уравнения (7) при условии (9) (или уравнении (8) при условиях (10)), то с точки зрения физики главная проблема заключается в определении действующих на тело сил, причем необходимо знать зависимость сил от координат и времени. Такую зависимость в принципе можно получить экспериментальным путем, но в ряде важных случаев она выражается аналитически (с помощью формул), например:

1. Сила упругости (закон Гука): , где – коэффициент (жесткость пружины);

2. Сила всемирного тяготения:

;

что позволяет теоретически рассчитывать траекторию движения тела и его скорость для любых конкретно интересующих нас случаев.

3. Метод численного интегрирования. *

Пусть в данный момент времени тело находится в точке и движется со скоростью . Каково будет его положение и скорость спустя небольшой промежуток времени , т.е. в момент ? Если мы сможем ответить на этот вопрос, то проблема решена, так как, исходя из начальных условий, т.е. положении и скорости в некоторый начальный момент времени, можно сказать, как они изменяются в первый момент, а, зная положение и скорость в первый момент, можно найти их и в следующий и т.д. Таким образом, шаг за шагом выстраивается вся картина движения.

Для любого момента времени при очень малом можно с достаточно хорошей точностью найти положение в момент через скорость и положение в момент .

, (11)

где – новая координата тела, – старая координата тела, – приращение (изменение координаты).

С точки зрения физики выражение (11) основано на том, что всегда можно выбрать такой малый интервал времени , во время которого скорость тела, вообще говоря, меняющаяся со временем, практически не меняется, а тогда изменение координаты можно вычислить по простой формуле: .

C точки зрения математики выражение (11) прямо следует из определения понятия производной:

Итак, при известных значениях скорость положение тела (координата ) определяется вычислениями, основанными на выражении (11). Ну, а что теперь можно сказать о скорости? Чтобы определить скорость в момент времени , очевидно, нужно знать, как она изменяется со временем, т.е. нужно знать ускорение. Формально эта задача решается точно так же, как и для координаты :

(12)

Опять таки, выражение (12) основано на том, что всегда можно выбрать такой маленький интервал времени , что, вообще говоря, меняющееся со временем ускорение в пределах выбранного интервала времени практически не меняется, и тогда изменение скорости можно вычислить по простой формуле:

Итак, при известных значениях ускорения скорость тела определяется вычислениями, основанными на выражении (12). Уравнения (11) и (12) – кинематические, они просто говорят, что из-за наличия скорости меняется координата. Ну, а что можно сказать об ускорении ? Информацию об ускорении дает нам второй закон Ньютона (2):

(13)

Уравнение (13) уже динамическое, потому что оно связывает ускорение с силой. И если силы нам известны, то, последовательно используя уравнения (13), (12) и (11), можно рассчитать координату и скорость тела в любой наперед заданный момент времени.

Следует отметить три обстоятельства.

Во-первых, ясно, что вычисления с использованием уравнений (11) – (13) приближенные, но их можно сделать сколь угодно точными, просто уменьшая величину ( называют шагом интегрирования).

Во-вторых, при малых значениях , чтобы вычислить координату и скорость тела в момент времени, значительно отстоящий от начального, требуется проделать очень много расчетов, хотя сами расчеты простые. Эта трудность в настоящее время преодолевается с помощью ЭВМ.

В-третьих, уравнения (11) – (13) относятся к , и , т.е. к проекциям радиус-вектора, вектора скорости и вектора ускорения на ось X (одномерный случай). Ясно, что такие же уравнения можно написать и для , , и , , , т.е. рассмотреть двумерный и самый общий трехмерный случай движения тела; лишь бы были известны значения сил, действующих на тело.

В заключении этого раздела несколько модифицируем наш метод, что позволит при том же шаге интегрирования увеличить точность. Заметим, что новое положение тела равно старому плюс интервал времени , умноженный на скорость. Но что это за скорость? В какой момент времени? В начале интервала одна скорость, а в конце, хотя и мало изменившаяся, но, вообще говоря, другая. Прием состоит в том, чтобы брать скорость в середине интервала . Если известна скорость в настоящий момент и известно, что она, хотя и мало, но меняется, как же можно надеется получить удовлетворительный результат, считая, что тело все время движется с той же скоростью, что и в настоящий момент? Более разумно использовать какую-то среднюю скорость между началом и концом интервала. Те же рассуждения применимы к изменению самой скорости: для подсчета ее изменений нужно использовать ускорения в средней точке между двумя моментами времени, в которых необходимо найти скорость. Таким образом, реально мы будем пользоваться следующими уравнениями: положение в конце интервала равно положению в начале плюс интервал , умноженный на скорость в середине интервала. Эта скорость, в свою очередь равна скорости в середине предыдущего интервала (т.е. на отрезок меньше) плюс ускорение в начале интервала умноженное на :

(14)

В начале вычисления мы знаем , а не . Чтобы получить воспользуемся дополнительным уравнением

(15)

Теперь все готово к расчетам, с использований уравнений (14) и (15).