Статистические распределения квантовых газов

Изотермический идеальный газ из фермионов или бозонов находится в фиксированном объеме, т. е. в потенциальной яме. Решая задачу квантовой механики о частице в яме, находим энергетический спектр. Получим среднее число частиц на уровне энергии, используя большое каноническое распределение и особенности поведения микрочастиц.

Фермионы имеют полуцелый спин и антисимметричны при попарной перестановке частиц. Выполняется принцип Паули – в одном квантовом состоянии не может быть более одной частицы. Среднее число частиц на уровне энергии дает распределение Ферми–Дирака, которое получили Энрико Ферми в 1925 г. и независимо Поль Дирак в 1926 г.

Бозоны симметричны при перестановке частиц, не имеют ограничения на число частиц в одном состоянии, и описываются распределением Бозе–Эйнштейна. Распределение для фотонов со спином S = 1 получил Шатьендранат Бозе в 1924 г. Обобщение на случай частиц с произвольным целым спином дал Альберт Эйнштейн в 1924–1925 г.

Большое каноническое распределение

Изотермическая система не взаимодействующих друг с другом частиц, занимающая постоянный объем, т. е. , и обменивающаяся энергией и частицами с термостатом, описывается большим каноническим распределением. Получим термодинамические характеристики квантовой системы.

Состояние системы. Ограниченная в пространстве стационарная квантовая система имеет дискретные уровни энергии

Частное распределение частиц по уровням образует состояние системы

,

где – число частиц на уровне . Полная энергия и число частиц в состоянии i равны

, . (4.1)

Вероятность состояния. Из большого канонического распределения (2.75) для классической системы, на основе принципа соответствия получаем для квантовой системы вероятность состояния i

, (4.2)

где – химический потенциал. Подстановка (4.1) в (4.2) дает

. (4.2а)

Распределения частиц по уровням энергии статистически независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий

,

где – вероятность нахождения частиц в состоянии с энергией . Сравнивая с (4.2а), получаем

, (4.3)

. (4.4)

Статистическая сумма состояния с энергией _k следует из (4.3) и условия нормировки

в виде

. (4.5)

Система в макроскопическом объеме имеет квазинепрерывный спектр энергии, тогда . Вероятность (4.3) нахождения n частиц в состоянии с энергией и статистическая сумма (4.5) получают вид

,

. (4.5а)

Среднее число частиц в состоянии с энергией без учета вырождения по спину, учитываемого в плотности состояний, находим из определения среднего и вероятности (4.5а)

. (4.6)

Учитывая статистическую сумму (4.5а), получаем

. (4.7)