Примеры

3. На одномерную двухуровневую стационарную систему действует возмущение, зависящее от времени. Описать состояние системы, не используя приближенных методов.

Невозмущенные состояния , где , удовлетворяют

, .

Решение уравнения с возмущением

ищем в виде суперпозиции невозмущенных состояний

. (П.9.2)

Подстановка (П.9.2) в уравнение дает

.

Умножая равенство на ₁, или на ₂, интегрируя по пространству и учитывая условие ортонормированности, получаем уравнения для коэффициентов

,

, (П.9.3)

где , – частота перехода.

4. На двухуровневую систему в состоянии , где ; , действует периодическое возмущение с частотой , близкой к частоте перехода . Таким возмущением является гармоническая электромагнитная волна, действующая на систему с дипольным моментом ex. Найти возмущенное состояние системы.

Матричные элементы возмущения

, ,

, , .

Из (П.9.3) получаем

,

.

Вблизи резонанса , где  – частота отстройки, для атомных переходов выполняется , где  – характерное время жизни состояния. Тогда осциллирует с высокой частотой около нуля и этим вкладом можно пренебречь. Уравнения получают вид

, .

Замена с учетом преобразует уравнения к виду

, .

Дифференцируя последнее равенство и исключая с₁, получаем

.

Решение ищем в виде

.

Это дает уравнение

,

откуда находим

, , (П.9.4)

где – частота Раби. В результате

, ,

тогда

, .

Из (П.9.2) получаем общее решение

+ .

Если при система находилась на уровне 1, тогда

,

.

Квадрат модуля коэффициента при ₂ дает вероятность нахождения частицы на уровне 2

. (П.9.5)

С учетом (П.9.4) находим

. (П.9.6)

При точном резонансе получаем

. (П.9.7)

При совпадении частоты возмущения  с частотой перехода ₀ система периодически переходит между уровнями с частотой Раби

. (П.9.8)

Время перехода между уровнями уменьшается с увеличением энергии возмущения, что согласуется с соотношением неопределенностей время-энергия. При большой частоте отстройки вероятность нахождения частицы на уровне 2

(П.9.9)

– мала и осциллирует с частотой отстройки. Исидор Айзек Раби (1898–1988) разработал в 1937 г. метод магнитного резонанса для измерения магнитного момента у частиц в молекулярном пучке.

Вариационный метод

Если условие применимости теории возмущений не выполняется, то по заданному гамильтониану можно приближенно получить состояние системы в аналитической форме вариационным методом, который разработал В. Ритц в 1908 г. Метод основан на функционале энергии в виде среднего от гамильтониана по состоянию системы, содержащему искомый параметр. Минимум функционала при вариации параметра дает функцию состояния и энергию. Метод не позволяет оценить погрешность результата.

Функционал энергии. Пусть стационарная система находится в состоянии  с условием нормировки . Вводим функционал энергии в виде среднего от гамильтониана

. (6.48)

Основное состояние. Функцию  разлагаем по базису собственных функций гамильтониана, удовлетворяющих

, .

С учетом нормировки получаем

, .

Средняя энергия в состоянии 

не может быть меньше энергии основного состояния Е₀

. (6.49)

В пространстве нормированных функций  абсолютный минимум функционала энергии равен энергии основного состояния Е₀. Функция , обеспечивающая этот минимум, является волновой функцией основного состояния.

Возбужденное состояние. Возбужденное состояние  ортогонально ₀, тогда . Рассуждение, аналогичное предыдущему, дает энергию состояния 

.

В подпространстве нормированных функций , ортогональных ₀, абсолютный минимум функционала энергии равен энергии первого возбужденного состояния Е₁. Функция , обеспечивающая минимум, является функцией этого состояния. Аналогичные рассуждения дают энергии и волновые функции вышерасположенных уровней.

Вариационный метод Ритца для стационарной одномерной системы использует волновую функцию с параметрами  и А. Условие нормировки дает . Экстремум функционала энергии (6.48)

(6.50)

дает величину .

Алгоритм применения метода:

1. Выбираем пробную квадратично интегрируемую функцию основного состояния с параметрами α и A, исходя из граничных условий и особенностей поведения системы.

2. Нормировка за счет параметра А дает .

3. Используя гамильтониан системы, вычисляем функционал (6.48).

4. Из условия экстремума (6.50) определяем ₀. Находим , ограничивающую сверху энергию основного состояния, а также волновую функцию основного состояния

.

5. Для первого возбужденного состояния выбираем пробную функцию с параметрами β и B, удовлетворяющую условиям ортогональности и нормировки:

, ,

и находим .

6. Вычисляем функционал энергии с искомой функцией

.

Из условия экстремума

(6.51)

получаем ₁. Находим , ограничивающую сверху энергию первого возбужденного состояния, и соответствующую волновую функцию . Аналогично определяются остальные состояния.

ПРИМЕР

10.1. Вариационным методом найти энергии и волновые функции двух первых состояний линейного гармонического осциллятора.

Волновая функция основного состояния не имеет узлов и при обращается в нуль, поэтому выбираем . Условие нормировки дает . Из (6.48) с учетом , получаем

= =

.

Из (6.50)

находим . Энергия основного состояния является точным результатом. Для волновой функции основного состояния получаем

,

что совпадает с точным выражением (3.32а).

Для первого возбужденного состояния пробная функция  ортогональна ₀. Поскольку ₀ – четная функция, то нечетная функция удовлетворяет . Нормировка дает . Из (6.48) находим

.

Условие (6.51) дает , тогда энергия первого возбужденного состояния , что является точным результатом. Аналогично получаем

.