Возмущение стационарных вырожденных состояний

Для вырожденных состояний рассмотренная теория не применима из-за обращения в нуль знаменателей в (6.13), (6.15) и (6.16).

Построим теорию двукратно вырожденных состояний и , удовлетворяющих уравнению , где . Уравнению удовлетворяет также суперпозиция . Появившееся возмущение действует на с коэффициентами и иначе, чем на с коэффициентами и . В результате возмущение снимает вырождение и в общем случае переводит систему в состояние с неопределенной энергией. Первый порядок теории возмущений дает коэффициенты и , с которыми состояние сохраняет определенность энергии, а также величину возмущенной энергии.

Невозмущенные состояния и ортонормированы

, . (6.18)

Рассматриваем суперпозиции

, . (6.19)

Найдем коэффициенты из условия, что возмущение в первом порядке не перемешивает и .

Возмущенные состояния. Повторяем рассуждения п. 6.1 применительно к состояниям , тогда , и из (6.9) получаем

, . (6.23)

Для нахождения коэффициентов , и поправки к энергии подставляем (6.19) для в (6.23)

. (6.24)

Проектируем уравнение на орт , умножая (6.24) слева на и интегрируя по объему. Аналогично проектируем (6.24) на орт . Учитывая (6.18), получаем:

,

, (6.25)

где . Для нахождения используем условие разрешимости системы уравнений (6.25)

.

Учитывая

,

находим энергии состояний после снятия вырождения

, ,

. (6.26)

Подстановка в (6.25) дает

, . (6.27)

Из (6.27) с учетом нормировки получаем коэффициенты состояния (6.19), которое не перемешивается возмущением.

Симметричное возмущение по отношению к и удовлетворяет условиям

, .

Из (6.26) и (6.27) находим

, , ,

тогда (6.19) получает вид

,

. (6.28)

Из (6.26) находим

, ,

. (6.29)

Возмущение отодвигает уровни друг от друга. Для невырожденных состояний отталкивание уровней возникает во втором порядке теории возмущений.

Пример симметричного возмущения. Однородное электрическое поле E действует на плоский ротатор в плоскости его вращения, как показано на рис. 5.1. Тогда , где θ – угол между полем и дипольным моментом ротатора. Из примера 6.1 используем

, ,

Для вырожденных при состояний получаем

,

.

В первом порядке теории возмущений уровни энергии не изменяются. Из (6.28) находим состояния, которые не перемешиваются возмущением:

,

.

Функции имеют определенные четности. Возмущение четное, поэтому оно сохраняет четности этих состояний, но перемешивает .