Тождественность микрочастиц и принцип Паули

Принцип неразличимости микрочастиц утверждает, что не существует физических различий между частицами одной природы, имеющими одинаковый набор квантовых чисел. В квантовой механике вне области применимости квазиклассического приближения нет понятия траектории и невозможно проследить за частицей. Специальное выделение частицы изменяет ее физическое состояние. Попарная перестановка неразличимых частиц не изменяет физических характеристик системы.

Фермионы и бозоны. Спиновое квантовое число , определяющее проекцию спина, будем рассматривать наряду с координатами частицы, тогда ее состояние описывается функцией , где – обобщенная координата. Состояние двух неразличимых частиц описывается функцией , где . Перестановка частиц означает перестановку их обобщенных координат. Плотность вероятности при этом не изменяется

тогда

где постоянная фаза одинаковая для любой пары частиц одной природы в силу принципа неразличимости. При двух перестановках система возвращается в исходное состояние, тогда , и , . В результате функция двухчастичного состояния, включающая координатную и спиновую составляющие, при перестановке частиц является четной или нечетной

. (7.38)

Симметричной функцией описываются частицы, называемые бозонами, антисимметричной функцией описываются фермионы. Название частицам дал Поль Дирак в 1947 г. в честь Энрико Ферми и Шатьендраната Бозе, установивших статистические распределения соответствующих частиц. В квантовой теории поля из условия положительности энергии В. Паули доказал, что спин фермионов полуцелый, спин бозонов целочисленный. Электроны относятся к фермионам, и их волновая функция меняет знак при взаимной перестановке любой пары частиц. К бозонам относятся, например, фотоны, имеющие единичный спин и симметричную функцию состояния.

Определитель Слэтера. Для системы двух фермионов с перекрывающимися волновыми функциями, у одного из которых набор квантовых чисел n₁, а у другого – n₂, общая волновая функция антисимметричная

Выражаем ее через функции отдельных частиц

где – состояние частицы 1 с набором квантовых чисел n₂. Обобщением на случай N фермионов является определитель Слэтера

, (7.39)

где множитель обеспечивает нормировку. Перестановка любой пары частиц соответствует перестановке соответствующих столбцов определителя, и он меняет знак. Определитель (7.40) предложил Джон Слэтер в 1929 г.

Принцип запрета Паули. Если два набора квантовых чисел, например n₁ и n₂ совпадают, то две строки определителя (7.39) одинаковые и он равен нулю. Это дает принцип Паули – в системе фермионов не может быть двух или более частиц с одинаковым набором квантовых чисел. Состояния фермионов, входящих в систему, должны отличаться хотя бы по одному квантовому числу. Принцип установил В. Паули в 1924 г.

Обменное взаимодействие

Для двух электронов в однородном магнитном поле, или вне его, спиновая и координатная части согласно входят в волновую функцию сомножителями

Функция _1,2 антисимметричная при перестановке частиц. Следовательно, если координатная часть симметричная, то спиновая часть антисимметричная, и наоборот. В системе двух электронов с общей волновой функцией существует корреляция между координатными и спиновыми состояниями частиц. Изменение проекции спина у одного электрона изменяет состояние второго электрона. Такое влияние объясняется наличием обменного взаимодействия, не имеющего аналога в классической теории.

Четность координатной функции. В сферической системе координат с началом в центре масс двух электронов, угловое состояние описывается сферической функцией . При взаимной перестановке частиц происходит инверсия их положений и углы изменяются: , . Из (4.27) получаем