3.7. Взаимодействие двух биологических систем (модель «хищник - жертва»)

Математическая модель наиболее простой, т. е. двух видовой системы «хищник – жертва» основывается на следующих предположениях:

1) численности популяций жертв N и хищников M зависят только от времени (модель не учитывающая пространственное распределение популяции на занимаемой территории);

2) в отсутствие взаимодействия численность видов изменяется по модели Мальтуса; при этом число жертв увеличивается, а число хищников падает, так как им в этом случае нечем питаться:

3) естественная смертность жертвы и естественная рождаемость хищника считаются несущественными;

4) эффект насыщения численности обеих популяций не учитывается;

5) скорость роста численности жертвы уменьшается пропорционально численности хищников, т. е. величине Cm, c>0, а темп роста хищников увеличивается пропорционально численности жертвы, т. е. величине Dn, d>0.

Объединяя предположения 1) – 5), приходим к системе уравнений Лотки

(1)

из которой по начальным численностям N(0), M(0) определяется численность популяций в любой момент t > 0.

Нелинейную систему (1) удобно исследовать в плоскости переменных N, M, для чего первое уравнение поделим на второе:

(2)

Уравнения (1), (2) имеют положение равновесия (или стационарное, не зависящее от времени решение):

M₀ = /c, N₀ = /d. (3)

Исследуем устойчивость положения равновесия (3). Под этим подразумевается следующее. Если начальные численности в точности равны величинам (3), то как с течением времени они изменяются? Если по каким-то причинам численности ненамного отклоняются от величин M₀, N₀, то вернется ли система в положение равновесия? Наконец, если начальные значения N(0), M(0) заметно отличаются от равновесных, то каким образом они меняются со временем относительно величин N₀ , M₀ ?

Для ответа на эти вопросы преобразуем уравнение (2) к виду

Dn(- )M = Dm( )N

или, после деления на NM и переноса всех членов в левую сторону, к виду

(4)

Уравнение (4) нетрудно проинтегрировать и получить соотношение

где константа в правой части определяется по начальным значениям N(0) M(0). Другими словами, уравнение (2), или, что то же самое, система (1) имеет интеграл вида

N exp(-Dn)=C₁ M (- )exp(Cm), C₁ > 0. (5)

Существование интеграла (5) дает возможность ответить на поставленные выше вопросы (на Рис. 3.7.1 изображены фазовые траектории системы (1); направление движения по траекториям с течением времени – против часовой стрелки):

N

0

Рис. 3.7.1. Фазовые траектории системы «хищник-жертва»

а) если N(0)=N₀ , M(0)=M₀ , то во все моменты времени численности популяций не меняются;

б) при малом отклонении от положения равновесия численности как хищников, так и жертв с течением времени не возвращаются к равновесным значениям (при этом из модели (1) получается стандартное уравнение колебаний);

в) если отклонение от положения равновесия велико, то поведение функций N(t), M(t) такое же, как и в случае б).

Эти выводы означают, что численности популяций жертв и хищников совершают периодические колебания вокруг положения равновесия. Амплитуда колебаний и их период определяются начальными значениями численностей N()0, M(0), они совершаются не в фазе: максимальному значению N(t) соответствует среднее значение M(t) и наоборот.

4. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И

МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ

0. 4.1. Понятие об имитационном моделировании и

методе статистического моделирования

Имитировать, согласно толковым словарям, значит «вообразить, постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте».

По существу, каждая модель или представление вещи есть форма имитации. Имитационное моделирование является весьма широким и недостаточно четко определенным понятием. Тем не менее, при первоначальном изучении предмета всегда полезно, хотя бы, какое-то определение. Приведем здесь определение, принадлежащее основоположнику научной теории имитационного моделирования Р. Шеннону [6]:

имитационное моделирование есть процесс конструирования модели и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы.

Имитационное моделирование является поэтому экспериментальной и прикладной методологией, имеющей целью:

- описать поведение систем;

- построить теории и гипотезы, которые могут объяснить наблюдаемое поведение;

- использовать эти теории для предсказания будущего поведения системы.

Имитационное моделирование получило первоначальный толчок в ходе реализации аэрокосмических программ, но даже выборочный обзор литературы показывает, сколь обширна сфера моделирования. Так, например, написаны книги по применению имитационного моделирования в коммерческой деятельности, экономике, маркетинге, в системе образования, политике, обществоведении, международных отношениях, на транспорте, в кадровой политике, а также в других областях.

В качестве средств моделирования в имитационном моделировании могут выступать весьма разнообразные объекты (системы самой различной природы, технические средства различного типа, вычислительные машины разного рода и, даже, детские игрушки). И это является одним из важнейших достоинств имитационного моделирования, поскольку позволяет подбирать для каждого типа системы свои наиболее подходящие для этой системы средства моделирования. Так, в этом разделе в подразделе под номером 4.2 рассматривается модель функционирования кассы (железнодорожной билетной кассы или театральной билетной кассы или, вообще, любой кассы). Так вот, в качестве средств моделирования там выступают игральная кость с номерами на гранях от 1 до 6, фишки с номерами на них от 1 до 10, лист бумаги, ручка и калькулятор элементарного типа (вместо калькулятора может быть голова, точнее, мозг экспериментатора). Однако, наиболее удобным и универсальным средством моделирования могут быть вычислительные машины, поскольку, именно на ЭВМ можно задействовать любые зачастую чрезвычайно сложные алгоритмы, в то время как стоимость машинных экспериментов на модели будет несоизмеримо меньше, например, по сравнению с производственным экспериментом. В подразделе 4.3 данного раздела рассматривается компьютерная модель системы массового обслуживания(СМО). При этом, в модели структурно присутствуют все элементы систем массового обслуживания и нет никаких ограничений на закономерности, которым подчиняются поступающие в СМО заявки на обслуживание, и на закономерности времен обслуживания заявок в СМО.

Реализация и исследование имитационной модели объекта на ЭВМ в научной литературе получила название метода статистического моделирования.