3.5. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости

Рынок труда, на котором взаимодействуют работодатели и наемные работники, характеризуется зарплатой p(t) и числом занятых работников N(t). Пусть на нем существует равновесие, т. е. ситуация, когда за плату p₀ >0 согласны работать N₀ >0 человек. Если по каким-то причинам это равновесие нарушается (например, по возрасту часть работников уходит на пенсию либо у предпринимателей возникают финансовые трудности), то функции p(t) и N(t) отклоняются от значений p₀ , N₀.

Будем считать, что работодатели изменяют зарплату пропорционально отклонению численности от равновесного значения. Тогда

₁( N-N₀ ), ₁ >0.

Предположим, что число работников увеличивается или уменьшается также пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно значения p₀ , т. е.

₂ (p-p₀ ), ₂ >0.

Дифференцируя первое уравнение по t и исключая из него с помощью второго уравнения величину N, приходим к стандартной модели колебаний

(p-p₀ )= - _{1 2} (p – p₀ ) (1)

Аналогично можно получить

(N – N₀ )= - _{1 2} ( N – N₀ ) (2)

Из (1) и (2) следует

₁ ( N – N₀ )² + ₂ ( p – p₀ )² = Const. (3)

Из соотношения (3) следует, что фонд зарплаты, равный Pn может колебаться, но в среднем за несколько периодов колебаний он будет равен p₀ N₀ .

3.6. Макромодель экономического роста

В растущей экономике число работающих R(t) не постоянно, а увеличивается с течением времени. В простейшей модели считается, что темп прироста занятых работников пропорционален числу уже работающих

Поэтому R(t)=R₀ exp( t) – заранее известная функция времени (величина задается, R₀ = R(0) – число работающих в начальный момент времени). Работники производят национальный доход Y(t), который частично идет на потребление и частично на накопление:

Y(t) = + A. (1)

Накопленная часть продукта А возвращается в экономику, с тем, чтобы скомпенсировать выбывающие из строя производственные мощности, а также для создания новых мощностей. Под мощностью M(t) понимается максимально возможный выпуск продукта экономикой. Реальный выпуск продукта зависит, естественно, от числа работающих и задается производственной функцией вида

Y(t)=M(t)f(x(t)). (2)

В формуле (2) величина x(t)= R(t) / M(t) по своему смыслу – количество работающих на единице мощности. Относительно функции f(x) делаются следующие предположения: f(0)=0, f ^‘(0)> 0 ( выпуск растет с увеличением числа занятых ) и f ^‘’<0 (насыщение). Функция f(x) определена для значений x на отрезке 0 x x_M=R_M / M, R_M (t) – число рабочих мест в хозяйстве при мощности M(t). Если все места заполнены, то выпуск Y(t) по определению равен M(t), т. е. для f(x) должно выполняться условие

f( x_M )= 1.

Одна из главных задач теории экономического роста - нахождение оптимальных в некотором смысле способов разделения произведенного продукта на потребляемую и накапливаемую части. Критерием оптимальности можно выбрать, например, душевое потребление ( количество продукта, потребляемого одним работающим ), т. е. величину

c(t)= (t)/R(t).

Сбереженный в единицу времени продукт A(t) расходуется на создание новой мощности:

A(t) = a I(t),

где a>0 - считающееся заданным и постоянным количество фондообразующего продукта, необходимого для создания единицы новой мощности, I(t) – число единиц новой мощности.

Темп выбытия существующей мощности предполагается пропорциональным самой мощности, т. е. величине M(t), коэффициент выбытия > 0 задается постоянным.

В итоге для изменения функции M(t) получаем балансовое соотношение

. (3)

Уравнения (1)-(3) содержат четыре неизвестные величины - Y(t), (t), M(t),I(t). Для замыкания модели предположим, что скорость введения новой мощности пропорциональна величине уже существующей мощности: I(t)= M(t), где >0

(величина, обратная характерному времени наращивания мощности) считается заданной и постоянной (естественно, ) . Тогда решение уравнения (3) легко находится:

M(t)=M₀ exp( ), (4)

а вместе с ним определяются и все остальные неизвестные величины.

Проанализируем простой, но показательный случай экономического роста, когда мощность увеличивается со временем в том же темпе, что и число работающих. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы выполнялось равенство

. (5)

Оно означает также, что с тем же темпом растут функции Y(t) (поскольку f(x(t)) = f(x=R₀ / M₀ )=Const) и (t), I(t).

Найдем число работающих и соотношение между потреблением и накоплением, при которых душевое потребление работников максимально. По определению

c(t)= = .

Учитывая, что Y(t)=M(t)f(x), A(t)= a M(t), и принимая во внимание (4), (5), получаем

c(t)= c = , (6)

т. е. душевое потребление со временем не меняется. Его максимум, как видно из (6),достигается при условии

,

которое дает уравнение для искомой величины x_m

x_mf ^/(x_m ) – f(x_m )+a( )=0. (7)

Это уравнение всегда имеет единственное решение 0 < x_m < x_M. Заметим, что помимо всех сделанных предположений, для реализации рассматриваемого режима экономического роста необходимо согласование численности работающих R₀ с мощностью M₀ в начальный момент времени так, чтобы R₀ / M₀ = x_m.

Норма накопления, обеспечивающая максимальное значение c_m

n_m = A_m / Y_m , находится из равенств Y_m = M_mf (x_m), A_m = a M_m и из (5), (7):

n_m = 1 – x_m f ^/(x_m) / f(x_m), (8)

и называется нормой золотого правила роста Солоу.

Если условие (5) не выполнено, то режимы роста экономики становятся более сложными, и оптимизация их характеристик проводится на всем рассматриваемом временном интервале. Напомним, что построенная модель не учитывает изменений в производственных отношениях (они считаются постоянными) и оперирует в основном технологическими связями.