0. 1. Введение

Во введении обычно принято давать краткое описание того, о чем далее будет изложено более подробно, а также о том, какое место занимает эта информация в жизни, деятельности, обучении человека.

Естественно, что это описание обычно начинается с рассмотрения основных терминов – «ключевых слов». Для нашего предмета рассмотрения такими основными ключевыми словами являются – модель, моделирование, математическое моделирование.

Первый термин – модель почти понятен каждому, но на некотором интуитивном уровне, а желательно, чтобы это понятие было осмысленным. Слово модель происходит от латинского слова modulys – образец, мера, мерило.

Вот как определяют понятие модели авторы учебного пособия [1]: «Модель некоторого объекта или явления, называемого оригиналом, представляет собой такой объект, явление или математическое описание, функционирование которого оказывается в достаточной степени аналогичным функционированию оригинала. Таким образом, свойства модели должны быть аналогичны соответствующим свойствам оригинала». В общем, это определение достаточно понятно, кроме одного момента. А что такое в данном случае «аналогичны»? Любой математик скажет, что это определение (или понятие) не корректно, так как предварительно не определено понятие «аналогия». Хотя бы приблизительной строгости ради приведем определение понятия аналогия, данное авторами монографии [2], имеющей гриф учебника: «Аналогией называют суждение о каком либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несущественным». Очевидно, что и это определение не является корректным, однако, теперь по крайней мере в первом приближении понятно, что такое модель. А вот как определяют понятие математическая модель авторы монографии [3]: «Под математической моделью исследуемого объекта (системы) будем понимать отображение F: (X,Z) Y, устанавливающее связь между набором входных данных X, определяющих условия функционирования объекта, набором параметров состояния Z, характеризующих состояние элементов (компонент) модели, и набором выходных данных Y . Отображение F при таком подходе характеризуется структурой (видом элементов и связей между ними) и набором параметров». Это понятие математической модели, несмотря на кажущуюся сложность, вполне понятно студентам технических вузов и оно более корректно, чем предыдущее. Более просто, но весьма некорректно – математическая модель – это математическое описание модели объекта. Термин моделирование (не обязательно математическое моделирование) в трактовке учебника [2] – это процесс замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследование свойств объектов на их моделях. Моделирование, как способ исследования объектов на практике применялось очень давно. А, если поближе, но более знакомо и понятно, то и сейчас прежде, чем строить большой мост, делают его уменьшенную копию – модель, на этой модели исследуют определенные свойства моста, производят определенные расчеты и лишь затем приступают к строительству моста. Аналогично поступают с гидростанциями и другими крупными объектами. Иногда, например, как в объектах микромира, исследовать сам объект либо трудно, либо дорого и здесь неоценимую помощь исследователям оказывают модели этих объектов. Даже в школе молекулы и атомы изучают на простых, но наглядных моделях.

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. Второе рождение методологии математического моделирования пришлось на конец 40-х - начало 50-х годов ХХ века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первая из них - появление ЭВМ (компьютеров). Вторая - беспрецедентный социальный заказ - выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно «осуществлены» в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике.

Сейчас математическое моделирование вступает в принципиально важный этап своего развития, «встраиваясь» в структуры так называемого информационного общества. История методологии математического моделирования убеждает: она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества.

Технические, экологические, экономические и иные системы больше не поддаются исследованию обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен. Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому математическое (шире – информационное) моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса.

Сама постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает четкий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель – алгоритм – программа (см. Рис 1.1).

Рис.1.1. Этапы моделирования систем

На первом этапе выбирается (или строится) «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства – законы, которым он подчиняется, связи, присущие его частям, и т.д.

Второй этап – выбор алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью.

На третьем этапе создаются программы, «переводящие» модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Создав триаду «модель - алгоритм - программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. После того как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту удостоверена, с моделью проводятся разнообразные и подробные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.

Моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных «специальностей» - исследователей и предпринимателей, политиков и военачальников. Привнесение в эти сферы точного знания помогает ограничить интуитивное умозрительное «моделирование», расширяет поле приложений рациональных методов. Конечно же, математическое моделирование плодотворно лишь при выполнении хорошо известных профессиональных требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, апостериорный анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т.д. Если же говорить о моделировании систем с участием «человеческого фактора», т.е. трудноформализуемых объектов, то к этим требованиям необходимо добавить аккуратное разграничение математических и житейских терминов (звучащих одинаково, но имеющих разный смысл), осторожное применение уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтителен путь «от задачи к методу», а не наоборот) и ряд других.

Решая проблемы информационного общества, было бы наивно уповать только на мощь компьютеров и иных средств информатики. Постоянное совершенствование триады математического моделирования и ее внедрение в современные информационно-моделирующие системы - методологический императив. Лишь его выполнение дает возможность получать так нужную нам высокотехнологичную, конкурентоспособную и разнообразную материальную и интеллектуальную продукцию.