Математическая постановка задачи

Пусть в пунктах , ,…, находятся порожние вагоны, причем в пункте находится, соответственно, - «своих» вагонов типа «l» («своих», т.е. собственности МПС РФ), - иностранных вагонов того же типа и - вагонов других форм собственности. Эти вагоны должны быть поданы под погрузку в пункты , ,…, , причем заявки этих пунктов по каждому типу вагонов «l» составляют, соответственно, , ,… . После загрузки в пунктах , ,…, вагоны должны быть направлены в пункты доставки груза , ,…, и заявки этих пунктов на груз в единицах вагонов составляют , ,…, вагонов, соответственно.

Пусть - переменная величина, равная числу порожних вагонов, направляемых из пункта в пункт . Так как вагоны могут быть трех видов собственности, то имеем .

Если через обозначить стоимость (эксплуатационные расходы) доставки одного вагона типа «l» из пункта в пункт , то в качестве целевой функции оптимизации передвижений порожних вагонов можно взять функцию

min, (1)

где S – общее число вагонов, участвующих в перевозках.

Пусть теперь y_jkl – переменная величина, равная числу груженных вагонов, направляемых из пункта в пункт , аналогично предыдущему будем иметь , a в качестве целевой функции оптимизации передвижений груженных вагонов можно взять функцию

min. (2)

К условиям минимизации (1) и (2) следует добавить ограничения задачи (об этом будет сказано ниже), тогда получим двухкритериальную задачу оптимизации. В соответствии с методом Парето эта задача может быть сведена к однокритериальной задаче, если в качестве целевой функции взять функцию

min, (3)

где весовые коэффициенты и могут быть выбраны экспертом.

Теперь об ограничениях задачи. Прежде всего, это будут обычные ограничения транспортной задачи линейного программирования. Например, если рассматривать задачу, как задачу без недостатков и избытков (если очень кратко, то это означает, что все вагоны отправляются и все прибывают с сохранением их общего числа), то для эти ограничения имеют вид

(4)

и аналогичные соотношения для y_jkl

Перейдем теперь к формулированию ограничений, характеризующих целесообразность использования иностранных вагонов. Прежде всего, как отмечено было выше, иностранный вагон целесообразно использовать в том случае, если доход от перевозки в нём груза из пункта , в пункт будет не меньше эксплуатационных расходов по перемещению вагона сначала из пункта , в пункт а затем из пункта в пункт . Математически такие условия (ограничения) принимают вид:

(5)

(l=1, 2,…, S)

где через обозначен доход, получаемый с одного вагона типа «l» при перемещении его из пункта в пункт .

Условия (5) записаны суммарно для всех иностранных вагонов, но могут быть выписаны и раздельно для групп вагонов, следующих из одних и тех же пунктов.

Если с владельцами вагонов других форм собственности заключены соглашения, аналогичные [15], то для таких вагонов также могут быть записаны соотношения вида (5).

Другая группа ограничений, характеризующих целесообразность использования иностранных вагонов, связана с приближением иностранного вагона к пункту передачи его государству-владельцу. Это означает, что суммарное расстояние при перемещении этого вагона сначала из в , затем из в , затем из в Е_r (пункт передачи вагона) должно быть не больше расстояния от в Е_r. Эти условия в терминах стоимости принимают вид:

(6)

(i = 1, 2,…, N), (j =1, 2,…, P), (k = 1, 2,…, Q), (r = 1, 2,…, R), (l = 1, 2,…, S).

Объединяя все вышесказанное, задачу оптимизации регулирования вагонопотоками в полном виде сформулируем следующим образом:

(7)

Подбором коэффициентов и ( + =1) (например, с помощью экспертов) задача (7) сводится к задаче линейного программирования, для которой существуют готовые алгоритмы решения, имеющиеся в пакетах прикладных программ. Применительно к большим полигонам железных дорог с большим числом пунктов отправления и назначения недостатком задачи (7) является значительное количество неизвестных переменных, что требует применения компьютеров большой мощности (промышленных компьютеров, а не персональных).

В задаче (7) фигурирует величина дохода D_jkl, которая вычисляется по формуле

(8)

где - расстояние на железной дороге между j-тым и k-тым пунктами следования вагонов, а и - тарифные коэффициенты, применяемые при расчете величины платы за перевозку.

Формула для вычисления эксплуатационных расходов также приведена в [14, с. 199] применительно к вагонам МПС и иностранным. Обобщая ее на случай также и вагонов других форм собственности, получим

(9)

где - плата за одни вагоносутки иностранного вагона на РЖД; руб./сут.;

- коэффициент увеличения платы за иностранный вагон в зависимости от времени нахождения на РЖД: до 15 суток = 1, от 15 до 30 суток =1.3, свыше 30 суток = 3.0.

- расстояние на железной дороге между i-тым и j-тым пунктами следования; км.;

S_в – среднесуточный пробег вагона на российской территории; км.;

- коэффициент порожнего пробега на РЖД;

- коэффициент принадлежности вагона ( = l для иностранного вагона, = 0 для российского вагона любой формы собственности);

- плата за одни вагоносутки российского вагона других, кроме МПС, форм собственности; руб./сут.;

- коэффициент увеличения платы за российский вагон другой формы собственности в зависимости от времени использования РЖД, определяется соглашениями между МПС и владельцами вагонов;

- коэффициент формы собственности для российских вагонов ( = 0 для вагонов МПС, = 1 в других случаях);

- стоимости одних вагонопотоков (зависящие расходы); руб./сут.;

- стоимость одного вагонокилометра; руб./ваг.км.;

а – себестоимость начально-конечных операций; руб./ваг.

Формула (9) при различных значениях и может быть использована для вычисления всех трех типов стоимостей: для вычисления формуле (9) полагают = = 0; для вычисления полагают = l, =0; для вычисления - =0, =1.