4.3. Понятие о методе статистических испытаний

Метод статистических испытаний или, как его назвали во время его «изобретения», метод Монте – Карло - это численный метод решения математических задач при помощи имитационного моделирования случайных величин. Датой рождения метода принято считать 1949 год, когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method» [7]. Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама [8].

Любопытно, что теоретическая основа метода была известна уже давно. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную – очень трудоемкая работа.

Само название «Монте – Карло» происходит от города Монте – Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом. Дело в том, что одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является … рулетка.

Для того, чтобы лучше уяснить сущность метода рассмотрим пример.

Пример. Предположим, что нам нужно вычислить площадь плоской фигуры (Рис.4.3.1):

0

1

ж

Рис. 4.3.1. Схема статистических испытаний для определения площади криволинейной плоской фигуры

Это может быть совсем произвольная фигура с криволинейной границей, заданная графически или аналитически. Пусть это будет фигура, целиком расположенная внутри единичного квадрата. Выберем в квадрате N случайных точек (точки отмечены на рисунке маленькой русской буквой «ж» - для наглядности), координаты которых являются случайными величинами, равномерно распределенными внутри квадрата. Обозначим через N^* число точек, попавших внутрь обозначенной границей области. Геометрически очевидно, что площадь S рассматриваемой фигуры приближенно равна отношению N^* / N. Методами теории вероятностей можно доказать, что чем больше будет N, тем выше будет точность оценки. В примере, изображенном на Рис. 5.1, выбраны N = 33 точек. Из них N^* = 11 оказались внутри области. Отсюда, S N^* / N = 11/33 = 1/3 0.33.

На практике для вычисления площади плоской фигуры метод Монте – Карло не используют: для этого есть другие методы, хотя и более сложные, но зато обеспечивающие гораздо большую точность. Однако, указанный в нашем примере метод Монте – Карло позволяет столь же просто вычислять «многомерный объем» тела в многомерном пространстве. Этот же метод позволяет столь же эффективно вычислять двойные, тройные и, вообще, многомерные интегралы, а тот, кто имел с этим дело, хорошо представляет, насколько это не простая задача.

Отметим две особенности метода Монте – Карло.

Первая особенность метода – простая структура вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Затем это испытание повторяется N раз, причем каждый раз опыт не зависит от всех остальных, и результаты всех опытов усредняются.

Поэтому метод Монте – Карло называют методом статистических испытаний.

Вторая особенность метода: ошибка вычислений, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная (дисперсия закона распределения имитируемой (разыгрываемой) случайной величины). Из этой формулы видно, что для того, чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (то есть объем работы) в 100 раз. Ясно, что добиться высокой точности на таком пути невозможно. Поэтому говорят, что метод Монте – Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен со сравнительно небольшой точностью.