Парабола

Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от постоянной точки (фокуса) и постоянной прямой (директрисы параболы).

Если за ось абсцисс (Ох) принять перпендикуляр, опущенный из фокуса на директрису, начало координат поместить посредине между фокусом и директрисой (см. рис.), то уравнение параболы будет иметь вид:

, (12)

где параметр р – расстояние между фокусом и директрисой.

Рис. 10

Если параметр , то ветви параболы расположены в I и IV координатных четвертях. Если параметр , то ветви параболы расположены во II и III координатных четвертях.

Парабола имеет одну ось симметрии, которая совпадает с осью Ох. Единственная вершина параболы совпадает с началом координат. Фокус параболы находится в точке , а директриса АВ имеет уравнение (см. рис.10).

Пример 4. Парабола проходит через точку . Найти ее параметр p.

Решение. Подставим в уравнение параболы (12) вместо текущих координат координаты точки . Получим: , .

Выполнить задания:

1. Найти координаты центра и радиус окружности .

2. Составить уравнение эллипса, зная, что а) полуоси ; б) расстояние между фокусами , большая ось 16; в) малая полуось 4, расстояние между фокусами 10; г) малая полуось 8, эксцентриситет 0,6.

3. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса .

4. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет . Найти уравнение гиперболы.

5. Найти эксцентриситет гиперболы .

6. Составить уравнение параболы, если ее вершина лежит в начале координат, парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку .