Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Разделы 1 и 2 (3).doc

Скачиваний:

216

Добавлен:

10.11.2019

Размер:

1.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки и . Уравнение прямой, проходящей через точку , имеет вид:

, (8)

где пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (8): .

Отсюда находим . Подставляя найденное значение k в уравнение (8), получим уравнение прямой, проходящей через точки и :

(9)

Предполагается, что в этом уравнении , .

Частные случаи:

1) Если , то прямая, проходящая через точки и параллельна оси ординат Оу. Ее уравнение имеет вид .

2) Если , то уравнение прямой может быть записано в виде , прямая параллельна оси абсцисс Ох.

Уравнение прямой в отрезках

Рис. 4

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу – в точке (см. рис. 4). В этом случае уравнение (9) примет вид: , т.е.

. (10)

Уравнение (10) называется уравнением прямой в отрезках, так как числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному ненулевому вектору имеет вид:

. (11)

Расстояние от точки до прямой :

. (12)

Возьмём на прямой произвольную точку и рассмотрим вектор (см. рис. 5). Поскольку векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: , то есть

(13)

Рис. 5

Уравнение (13) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Уравнение (13) можно переписать в виде

(14)

где А и В – координаты нормального вектора, свободный член. Уравнение (14) есть общее уравнение прямой (см. формулу (6)).

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки .

Решение. По формуле (9) имеем:

; .

Пример 4. Общее уравнение прямой представить в отрезках на осях.

Решение. Чтобы получить величины отрезков, отсекаемых заданной прямой на осях, положим .

При имеем: , . В точке прямая пересекает ось . При имеем: ; . В точке прямая пересекает ось . Уравнение в отрезках на осях имеет вид: (см. рис. 6).

Рис. 6

Выполнить задания:

Уравнение прямой представить в виде: а) с угловым коэффициентом; б) в отрезках на осях.
Найти уравнение прямой, проходящей через точку , параллельной прямой
Найти уравнение прямой, проходящей через точки и .
Найти уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярной к прямой .
Найти угол между прямыми и .
Стороны треугольника заданы уравнениями: . Найти координаты вершин треугольника.

Практическое занятие №8 Кривые II порядка. Окружность. Эллипс

Окружность. Касательная к окружности

Окружность – это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется ее центром (см. рис. 7).

Рис. 7

Пусть – координаты центра окружности, r – радиус, тогда нормальное уравнение окружности:

(1)

Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с данной окружностью одну общую точку – точку касания.

Пусть – координаты точки касания, тогда уравнение касательной к окружности, заданной уравнением (1):

(2)

Частный случай.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности:

. (3)

Уравнение касательной к окружности, заданной уравнением (3):

. (4)

Пример 1. а) Показать, что уравнение есть уравнение окружности. Найти ее центр и радиус. б) Составить уравнение касательной, проходящей через точку окружности с центром в точке , если уравнение окружности имеет вид: .

Решение. а) Приведем данное уравнение к виду (1):

Центр окружности – в точке

б) По формуле (2) имеем:

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина, равная 2а. Эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами, т.е. (см. рис. 8).

Рис. 8

Простейшее уравнение эллипса можно получить, если выбрать за ось абсцисс (Ох) прямую, соединяющую фокусы и поместить начало координат в середине между данными фокусами и . При таком выборе системы координат оси координат совпадают с осями симметрии эллипса, а начало координат – с его центром симметрии.

Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса. Отрезки, заключенные между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокальная) ось и малая ось .

Тогда простейшее уравнение эллипса имеет вид:

(5)

где а – большая полуось эллипса; b – малая полуось эллипса.

Если (расстояние между фокусами), то имеет место равенство:

. (6)

Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине его большей оси называется эксцентриситетом эллипса.

(7)

У эллипса эксцентриситет (так как ), а его фокусы лежат на большой оси.

Пример 2. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что большая полуось , эксцентриситет .

Решение. 1) По формуле (7): ,

2) по формуле (6): ,

3) уравнение эллипса имеет вид: .

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина, равная 2а. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами, т.е. (см. рис. 9).

Прямая, соединяющая фокусы гиперболы, служит осью абсцисс (Ох), начало координат выбрано в середине между фокусами, при этом оси координат совпадают с осями симметрии гиперболы и начало координат – с ее центром симметрии.

Гипербола имеет две действительные вершины на фокальной оси; отрезок, заключенный между ними, , называется действительной (вещественной) осью гиперболы. Со второй осью гипербола пересекается в двух мнимых точках ; но, условно, действительный отрезок называется мнимой осью гипербола.