Практическое занятие №7

Различные виды уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллель­ная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 3).

Под углом ( ) наклона прямой понима­ется наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Рис.3

Возьмем на прямой произвольную точку (см. рис. 3). Проведем через точку N ось Nx' па­раллельную оси Ох и одинаково с ней направлен­ную. Угол между осью Nx' и прямой равен . В си­стеме Nx'y точка М имеет координаты х и . Из определения тангенса угла следует равенство:

, т. е. .

Введем обозначение , получаем уравнение

, (1)

которому удовлетворяют координаты любой точки прямой. Мож­но убедиться, что координаты любой точки , лежащей вне данной прямой, уравнению (1) не удовлетворяют.

Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (1) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то и, следова­тельно, уравнение этой прямой будет иметь вид .

Если прямая параллельна оси Оx, то , следовательно, и уравнение (1) примет вид .

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (1) теряет смысл, т.к. для нее угловой коэффициент не существует.

В этом случае уравнение прямой будет иметь вид , где a – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

Угол между прямыми

Пусть даны две прямые

тогда острый угол  между этими прямыми равен:

. (2)

Пример 1. Найти острый угол между прямыми и .

Решение. Приведем данные уравнения прямых к виду (1):

По формуле (2) имеем:

(по таблице).

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

1. Условие параллельности двух прямых.

Пусть даны две прямые: ; .

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, то есть если выполняется равенство:

(3)

2. Условие перпендикулярности двух прямых.

Две прямые перпендикулярны, если для их угловых коэффициентов выполняется равенство: или

(4)

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. Представим данное уравнение прямой как уравнение с угловым коэффициентом, т.е.

Пусть искомое уравнение имеет вид: .

Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то угловые коэффициенты этих прямых равны, т.е. , следовательно, искомое уравнение прямой:

(5)

Так как прямая, заданная уравнением (5), проходит через точку , то координаты точки А должны удовлетворять уравнению (5), следовательно:

– искомое уравнение прямой.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и у в общем виде:

. (6)

Уравнение (6) – общее уравнение прямой, где произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно­временно.

Покажем, что уравнение (6) есть уравнение прямой линии. Возмож­ны два случая.

I случай. Если , то уравнение (6) имеет вид , причем , т.е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и прохо­дящей через точку .

II случай. Если , то из уравнения (6) получаем . Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом .

Итак, уравнение (6) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если , то уравнение приводится к виду . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если , то прямая параллельна оси Оу;

3) если , то получаем . Уравнению удовлетворяют координаты точки О (0; 0), прямая проходит через начало координат, ее уравнение: (уравнение прямой пропорциональности).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М и ее направление ха­рактеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде , где b – пока неизвестная величина.

Так как прямая проходит через точку М , то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой . Отсюда . Подставляя значение b в уравнение , получим искомое уравнение прямой , т.е.

. (7)

Уравнение (7) с различными значениями k называют также уравне­ниями пучка прямых с центром в точке М . Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.