Практическое занятие №3 Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений п-линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Составим главный определитель из коэффициентов при неизвестных:

а) Если , то система (1) имеет решения, которые находятся по формулам:

,

где определитель получается из главного определителя  заменой i-го столбца столбцом свободных членов:

.

б) Если , то система (1) не имеет решений.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение.

решение существует;

.

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений п-линейных уравнений с n неизвестными:

(2)

а) Если главный определитель системы (2) не равен нулю, то система имеет единственное решение , которое называется тривиальным.

б) Если , то система (2) имеет бесконечное множество нетривиальных решений.

Пример 2. Решить однородные системы уравнений:

а)

(единственное решение).

б)

система имеет нетривиальное решение.

Уравнение (3) получено суммированием уравнений (1) и (2), поэтому уравнение (3) можно отбросить. Обозначим , получим:

Получим неоднородную систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Найдем главный определитель:

решение существует.

;

Ответ: .

Выполнить задания:

1. Решить системы уравнений:

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж)

Практическое занятие №4

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричными способом. Матричные уравнения

Пусть А – квадратная матрица -го порядка

.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае, если ее определитель равен нулю, то матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

,

где алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие

.

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет те же размеры, что и матрица А.

Обратная матрица

Теорема. (Необходимое и достаточное условие существование обратной матрицы).

Обратная матрица существует и единственна исходная матрица А невырожденная.

Формула нахождения обратной матрицы для невырожденной квадратной матрицы:

где матрица из алгебраических дополнений, матрица, транспонированная матрице из алгебраических дополнений.

Формулы для вычисления обратных матриц второго и третьего порядков имеют вид:

при : ;

(1)

при : ,

. (2)

Пример 1. Найти матрицу для матрицы А, если дана матрица:

Решение.

Для вычисления обратной матрицы используем формулу (1).

1) Найдем определитель матрицы А:

и единственна.

2) Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:

3) Составим матрицу из алгебраических дополнений:

.

4) Составим матрицу, транспонированную матрице алгебраических дополнений:

.

5) Найдем по формуле (1) обратную матрицу :

.

Убедиться в правильности вычислений обратной матрицы можно, проверив равенство:

Действительно,

Матричные уравнения

Обратная матрица применяется при решении матричных уравнений. Рассмотрим три типа матричных уравнений.

1 случай. Рассмотрим матричное уравнение

(1)

где А, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Умножим обе части равенства (1) слева на :

(2)

Формула (2) позволяет найти неизвестную матрицу Х.

2 случай. Рассмотрим матричное уравнение

(3)

где А, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Умножим обе части равенства (3) справа на :

(4)

Формула (4) позволяет найти неизвестную матрицу Х.

3 случай. Рассмотрим матричное уравнение

(5)

где А, D, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Умножим обе части равенства (5) слева на и справа на , получим

имеем

(6)

Формула (6) позволяет найти неизвестную матрицу Х.

Пример 2. Решить матричное уравнение:

Решение. Искомую матрицу Х найдем по формуле (6).

1) Найдем матрицу

существует и единственна.

Найдем алгебраические дополнения матрицы А:

.

Составим матрицу из алгебраических дополнений и матрицу, транспонированную матрице алгебраических дополнений .

2) Найдем матрицу :

существует и единственна.

;

3) По формуле (6) найдем матрицу Х:

Выполнить задания:

1. Найти матрицы , обратные для данных матриц:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Решить систему матричным способом:

а)

б)

3. Решить матричное уравнение:

а) ;

б) .