Контрольное задание

Методом наименьших квадратов найти:

а) коэффициенты линейной регрессии для функции

xi	0	0,1	0,2	0,3	0,4
yi	0,01+0,1(k-1)	0,19+0,1(k-1)	0,31+0,1(k-1)	0,42+0,1(k-1)	0,5+0,1(k-1)

где k=1, 2, …,30 – номер варианта;

б) коэффициенты квадратичного аппроксимирующего многочлена для функции

xi	2	4	6	8	10	12	14
yi	-0,24+k -0,24+0,1l -2,14+0,2r	0,44+k 0,44+0,1l -1,46+0,2r	1,04+k 1,04+0,1l -0,86+0,2r	1,56+k 1,56+0,1l -0,34+0,32r	2,0+k 2,0+0,1l 0,1+0,2r	2,36+k 2,36+0,11l 0,46+0,2r	2,64+k 2,64+0,1l 0,74+0,2r

где k = 1,2,3,…,10; l=11,12…,19; r=20,21,…,30 – номера вариантов.

2. Численное интегрирование функий одной переменной классификация методов

При решении многих инженерных задач приходится вычислять определенные интегралы от функций. Из курса математического анализа известно, что для всякой непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) существует первообразная F(x), и определенный интеграл от этой функции можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница

, (2.1)

где .

Однако во многих случаях первообразная функция F(x) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной, вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (2.1) может быть затруднительным или даже практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция f(x)часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. В таких случаях применяют формулы приближенного интегрирования, называемые квадратурными.

Идея численных методов интегрирования заключается в замене подынтегральной функции f(x) некоторой аппроксимирующей функцией , интеграл от которой вычисляется легко. В частности, если заменить функцию f(x) на отрезке [a,b] интерполяционным многочленом с узлами интерполяции , то квадратурная формула примет вид:

(2.2)

Числа A_i называются весами, а x_i – узлами квадратурной формулы. Веса A_i не зависят от функции f(x), а зависят только от выбора узлов. Если узлы равноотстоящие с шагом , то квадратурные формулы (2.2) называются формулами Ньютона-Котеса при разных k.

Для повышения точности квадратурной формулы отрезок интегрирования разбивают на ряд частичных интервалов, на каждом из которых подынтегральную функцию заменяют интерполяционным многочленом. Такую квадратурную формулу называют составной. Если концы отрезка [a,b] и частичных интервалов интегрирования выбираются в качестве узлов интерполяции, то формулу называют квадратурной формулой замкнутого типа, в противном случае – открытого типа. Квадратурная формула называется точной для многочленов степени k, если при замене функции f(x) произвольным многочленом степени k приближенное равенство (2.2) становится точным. Алгоритмы методов Ньютона-Котеса просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином. Методы различаются по типу выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации применяются для обработки данных.

В методах наивысшей алгебраической точности (методы Гаусса-Кристоффеля и другие) используют неравноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций при заданном количестве узлов. Методы различаются способами выбора узлов и широко используются для интегрирования, в том числе они применимы и для несобственных интегралов. Хотя из-за необходимости хранения числовых констант и стандартизации пределов интегрирования, программы указанных методов требуют несколько большего объема памяти по сравнению с методами Ньютона-Котеса.

В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. Методы оказываются эффективными при вычислении большой кратности.

В класс специальных группируются методы, алгоритмы которых разрабатываются на основе учета особенностей конкретных подынтегральных функций, что позволяет существенно сократить время и уменьшить погрешность вычисления интеграла.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение S интеграла и оценить погрешность R.

Погрешность будет уменьшаться при увеличении количества разбиений N интервала [a,b] за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции, однако при этом будет возрастать погрешность за счет суммирования частичных интегралов и последняя погрешность S некоторого N₀ становится преобладающей. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа N и привести к необходимости разработки способа оценки погрешности R выбранного метода.