Интегральная форма уравнений

На практике, зачастую, используют уравнения межфазного переноса субстанций в интегральной форме, получающиеся осреднением локальных уравнений по отдельному участку или всей межфазной поверхности F.

(103)

(104)

(105)

В общем случае, при одновременном изменении кинетического коэффициента и движущей силы по межфазной поверхности, такая запись является условной, т.к. невозможно разделить осреднение кинетического коэффициента и движущей силы (интеграл от произведения не равен произведению интегралов). В крайнем случае, можно провести независимое осреднение одной величины, но тогда осредненное значение второй будет зависеть от характера изменения первой.

Таким образом, при использовании уравнений массо-, тепло- и импульсоотдачи в интегральной форме необходимо следить за корректным использованием осредненных кинетических коэффициентов и движущих сил, совокупность которых не должна противоречить исходным уравнениям. Положение упрощается, если одна из величин не меняется по межфазной поверхности. В этом случае ее можно вынести из под знака интегрирования в уравнениях и усреднить лишь вторую.

Уравнения массо-, тепло- и импульсопередачи. Локальная форма уравнений

Рассмотрим перенос субстанций из фазы I через межфазную поверхность в фазу II за счет молекулярного и турбулентного механизмов. Примем допущение о том, что сопротивлением переносу субстанций со стороны межфазной поверхности можно пренебречь, это равносильно предположению об установлении равновесия на границе раздела фаз, тогда можно записать

, , (106)

Проведем вывод уравнения массопередачи. Поскольку мы условились обозначать индексом I фазу, из которой происходит перенос субстанции, то _iI > _iII . Ось y направим от фазы I к II. С учетом вышесказанного, запишем уравнения массоотдачи каждой из фаз, поделив их на соответствующие коэффициенты

(107) (108)

Сложим эти два уравнения и разрешим относительно потока вещества компонента i через межфазную поверхность

(109) (110)

Уравнение (110) носит название уравнение массопередачи, а величина, стоящая перед разностью химических потенциалов в его правой части, называется коэффициентом массопередачи. Аналогичным образом могут быть получены уравнения тепло- и импульсопередачи, что позволяет использовать единую форму их записи

(111) (112)

(113) (114)

(115) (116)

здесь , K_т, K_г - коэффициенты массо-, тепло- и импульсопередачи. Они характеризуют перенос субстанций из одной фазы в другую, а не внутри фаз. Движущими силами в данном случае являются разности соответствующих величин в ядрах двух фаз (или средних значений величин в фазах). Таким образом, уравнения (111), (113), (115) имеют чрезвычайно простое содержание, свидетельствуя о пропорциональности межфазного потока субстанций отклонению системы от состояния равновесия. Для уравнения массопередачи в качестве движущей силы использована разность химических потенциалов компонента в фазах, позволяющая сохранить аналогию этих уравнений. Подставить вместо _i в (111) концентрации с_i было бы ошибкой, т.к. равенство концентраций компонента в фазах не является условием равновесия, возможны процессы массопередачи при равенстве c_iI^я =c_iII^я и равновесие, т.е. отсутствие межфазного переноса при c_iI^я_ c_iII^я. В последующих разделах будет показана возможность представления движущей силы массопередачи через разность концентраций, однако это будет разность рабочей и равновесной концентраций компонента в одной из фаз.

Соотношения (112),(114), (116) можно переписать иначе

(117)

Величины, обратные рассмотренным кинетическим коэффициентам, носят название сопротивлений: 1/ , 1/K_т, 1/K_г - сопротивления массо-, тепло-, импульсопередаче, а 1/ , 1/, 1/ - сопротивления массо-, тепло-, импульсоотдаче. Нетрудно видеть, что соотношения (117) выражают аддитивность фазовых сопротивлений. Если не пренебрегать сопротивлением переносу субстанции со стороны межфазной поверхности, то к правым частям уравнений (117) необходимо добавить соответствующие сопротивления. Например, если процесс теплопередачи осуществляется не при непосредственном контакте двух фаз, а через разделяющую их стенку, обладающую термическим сопротивлением r_ст, то (118)

Вид уравнений (117) свидетельствует, что больший вклад в межфазное сопротивление дает максимальное фазовое сопротивление. Если сопротивление первой фазы гораздо больше второй, то последним можно пренебречь и в этом случае ; ; (119)

т.е. ; ; при (120)

Интенсификация процессов химической технологии требует увеличения коэффициентов тепло- и массопередачи, т.е. уменьшения соответствующих сопротивлений. Исходя из вышесказанного, для этого в первую очередь необходимо уменьшать наибольшее фазовое сопротивление, т.е. увеличивать наименьший коэффициент массо- или теплоотдачи.

Отношения движущих сил массо-, тепло-, и импульсоотдачи в первой и второй фазах прямо пропорциональны отношению соответствующих фазовых сопротивлений, т.е. обратно пропорциональны отношению коэффициентов переноса в фазах.