2.2.7 Расчёт надёжности по схеме «гибели-размножения»
Расчёт надёжности резервированных систем иногда выполняют, используя понятие о Марковской цепи по так называемой схеме «гибели-размножения». В этом случае вероятность возникновения состояния отказов, преобразованную по Лапласу вычисляют по формуле
(2.57)
При не равных корнях знаменателя обратное преобразование Лапласа имеет вид
(2.58)
Здесь
обозначено
-
интенсивность отказов до выхода из
строя 1-го элемента;
- интенсивность отказов системы в
промежутке между отказом первого
элемента до отказа второго элемента и
т.д. При
(2.59)
Так
как
определяет вероятность
-го
состояния системы, то для вычисления
вероятности безотказной работы системы
следует определить вероятности 0,1,2,...
отказов, когда система ещё работоспособна
и суммировать полученные значения
вероятностей.
Среднее время безотказной работы системы при использовании схемы процесса «гибели-размножения» определяют по соотношению
(2.60)
где
- интенсивность отказов системы до
выхода из строя
-го
элемента.
Пример
10. В схеме
защиты технологического оборудования
для измерения значения величины,
характеризующей состояние объекта
защиты, используют мажоритарную схему
резервирования «три из пяти». Определить
вероятность безотказной работы и среднее
время наработки до отказа системы
измерения, если интенсивность отказов
каждого прибора равна
,
последействие отказов отсутствует, а
время исправной работы равно 5000
часов.
Решение.
В рассматриваемом примере имеет место
резервирование с дробной кратностью,
когда общее число приборов
= 5, количество приборов необходимых
для нормальной работы равно
= 3, а кратность резервирования
Воспользуемся схемой процесса
«гибели-размножения». Система отказывает
при отказе трёх приборов. Вычислим
вероятности состояния системы при
исправном состоянии всех приборов,
отказе одного прибора и двух приборов:
Для
Запишем вероятности состояния системы, преобразовав их по Лапласу
Перейдём к оригиналам
Подставляя
вместо
их значения, получим
Так
как при
отказ системы не наступает, то вероятность
безотказной работы системы равна
.
2.3 Расчёт надёжности программных средств
В составе современных технических систем всё больший удельный вес занимают средства вычислительной техники. Стоимость основной ячейки интегральных микросхем – логического вентиля – с развитием электроники непрерывно снижается. Напротив, программное обеспечение, удельная стоимость которого у первых ЭВМ была очень малой, в настоящее время составляет более 90 % стоимости компьютеров. Этот рост стоимости объясняется несколькими причинами:
1) Технология создания программного обеспечения серьезно отстаёт от технологии производства элементной базы;
2) по своей природе программное обеспечение сложнее оборудования (объём программ для современных систем оценивается в 106 – 108 и более команд или информационных слов);
3) требования к программному обеспечению в течение его жизненного цикла, который увеличился до 15 – 20 лет, существенно изменяются;
4) в отличие от комплекса технических средств для программного обеспечения (ПО) очень трудно рассчитать на этапе проектирования достижимое быстродействие, кроме того, в оборудование непрерывно вносятся изменения.
Отсюда следует, что в процессе создания и эксплуатации ПО непрерывно изменяется, а самим программам свойственны ошибки. В самом общем виде под ошибкой понимают любое не выполнение программой функций, которые заданы техническим заданием. Проявление ошибки является отказом, а надёжность вычислительной техники состоит из двух составляющих: надёжности технических средств и надёжности программного обеспечения.
Приближенно можно полагать, что отношение числа ошибок в программе к общему числу команд в ней лежит в диапазоне от 0,25 до 10 на 1000 команд. Это означает, что в ПО объёмом в 0,5 млн. команд может быть 125 – 5000 ошибок; причем, такая оценка является оптимистической. Выявление ошибок и их исправление является процессом многоэтапным (в соответствии с этапами «жизни» ПО), трудоёмким и дорогостоящим. По мере перехода к более поздним этапам разработки ПО цена ошибки возрастает, тенденцию этого роста иллюстрирует таблица:
Таблица 2.1 - Примерная «цена» программной ошибки на разных этапах жизни программного обеспечения
Наименование этапа |
Стоимость ошибки, руб. |
Составление спецификаций |
3500 |
Программирование |
25000 |
Комплексная отладка |
175000 |
Сопровождение ПО у заказчика |
350000 - 35000000 |
Цена ошибки, которую не удалось обнаружить на этих этапах, может быть совершенно непредсказуемой и огромной. Свидетельством этого являются аварии, происходящие с космическими аппаратами, многие из которых были потеряны из-за ошибок именно в программном обеспечении.