![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Методическое пособие по элементарной математике
- •Составители:
- •§1 Множества.
- •§2 Числовая ось
- •§3 Модуль действительного числа
- •§4 Степени и корни
- •§5 Функции и их свойства
- •§ 6 Линейные преобразования графика функций
- •§7 Обзор элементарных функций
- •§8 Многочлены
- •§9 Корни алгебраического уравнения
- •§10 Рациональные неравенства
- •§11 Прогрессии
§5 Функции и их свойства
Определение:
если каждому
из множества
,
поставлено в соответствие по известному
закону единственный элемент
из множества
,
то говорят, что на множестве
задана функция
.
- область определения
функции, а
- область значений функции
.
- аргумент (независимое переменное);
- функция (зависимая переменная).
Пример. 1)
.
2)
.
Способы задания функции.
Аналитическое задание (задание формулой ).
явное задание:
.
неявное задание: уравнение
задает функцию при определенном условии, например
, тогда
.
Графическое задание
Говорят, что функция
задана графически, если закон соответствия
между
и
задан с помощью чертежа. Как правило
это кривая
.
Табличное задание.
Свойства функции.
Ф
ункция называется четной, если для любого
верно равенство
. График четной функции симметричен относительно оси
.
Пример.
.
Ф
ункция
называется нечетной,
если для любого
верно равенство
.
График четной функции симметричен
начала координат.
Пример.
Функция называется периодической, если существует
, что для любого выполняется равенство
;
- наименьшее положительное значение
называется периодом
.
Пример.
Функция
- периодические с периодами
соответственно.
Если функция
периодическая с периодом
,
то функция
имеет период
.
Из определения
периодичности функции следует, что
- вся числовая ось. Для построения графика
периодической функции 1) достаточно
построить график на отрезке длины равной
периоду; 2) с последующим сдвигом его на
любое число периодов влево или вправо.
§ 6 Линейные преобразования графика функций
Задан график .
График функции
получен из графика отражением относительно оси
.
График функции
получен из графика отражением относительно оси .
. График этой функции получается из графика сдвигом его на
единиц вдоль оси : вверх при
, вниз при
.
. График функции надо сдвинуть на
единиц вдоль оси вправо при
, влево при
.
. Для построения этого графика
, надо график функции «сжать» в раз вдоль оси при
или «растянуть» в
вдоль оси при
.
.
- исходный график «сжать» в
раз вдоль оси при
или «растянуть» вдоль оси в
раз при
.
. Исходный график сдвинуть влево на
, «сжать» в раз, если , или «растянуть» в раз, если вдоль оси , дальше «растянуть» в раз вдоль оси , если или «сжать» в , если и наконец сдвинуть график вдоль оси на единиц вверх.
Пример.
Построить график
Исходный график
1)
;
2) сдвиг по оси
на 1 вправо; 3) «растянуть» по оси
в два раза; 4) сдвиг по оси
на 2 единицы вниз.