§5 Функции и их свойства

Определение: если каждому из множества , поставлено в соответствие по известному закону единственный элемент из множества , то говорят, что на множестве задана функция .

- область определения функции, а - область значений функции .

- аргумент (независимое переменное);

- функция (зависимая переменная).

Пример. 1) .

2) .

Способы задания функции.

1. Аналитическое задание (задание формулой ).

1. явное задание: .

2. неявное задание: уравнение задает функцию при определенном условии, например , тогда .

   2. Графическое задание

Говорят, что функция задана графически, если закон соответствия между и задан с помощью чертежа. Как правило это кривая .

2. Табличное задание.

Свойства функции.

1. Ф ункция называется четной, если для любого верно равенство . График четной функции симметричен относительно оси .

Пример. .

Ф ункция называется нечетной, если для любого верно равенство . График четной функции симметричен начала координат.

Пример.

2. Функция называется периодической, если существует , что для любого выполняется равенство ; - наименьшее положительное значение называется периодом .

Пример. Функция - периодические с периодами соответственно.

Если функция периодическая с периодом , то функция имеет период .

Из определения периодичности функции следует, что - вся числовая ось. Для построения графика периодической функции 1) достаточно построить график на отрезке длины равной периоду; 2) с последующим сдвигом его на любое число периодов влево или вправо.

§ 6 Линейные преобразования графика функций

Задан график .

1. График функции получен из графика отражением относительно оси .

2. График функции получен из графика отражением относительно оси .

3. . График этой функции получается из графика сдвигом его на единиц вдоль оси : вверх при , вниз при .

4. . График функции надо сдвинуть на единиц вдоль оси вправо при , влево при .

5. . Для построения этого графика , надо график функции «сжать» в раз вдоль оси при или «растянуть» в вдоль оси при .

6. . - исходный график «сжать» в раз вдоль оси при или «растянуть» вдоль оси в раз при .

7. . Исходный график сдвинуть влево на , «сжать» в раз, если , или «растянуть» в раз, если вдоль оси , дальше «растянуть» в раз вдоль оси , если или «сжать» в , если и наконец сдвинуть график вдоль оси на единиц вверх.

Пример. Построить график

Исходный график 1) ; 2) сдвиг по оси на 1 вправо; 3) «растянуть» по оси в два раза; 4) сдвиг по оси на 2 единицы вниз.