5.5.Структурные средние.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.

Мода - это наиболее часто встречающаяся варианта признака в данной совокупности.

В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар «А» реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

, где

x₀ - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующая модальному;

- частота интервала, следующая за модальным.

Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 5.3)

Таблица 5.3.

Распределение населения РФ по уровню среднедушевого месячного дохода в I-ом полугодии 1995 года

Среднедушевой месячный доход, руб.	Удельный вес населения, % (f i)	Накопленная частота, % (Si)
менее 100 100-300 300-500 500-700 700-900 900 и выше	2,4 35,5 30,0 15,7 7,7 8,7	2,4 37,9 67,9 83,6 91,3 100,0
Всего	100,0	Х

Интервал 100-300 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет наибольшую частоту ( ). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет равна:

руб.

Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части. В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов. В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:

, где x₀ - нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот до медианного интервала; f_Me - частота медианного интервала. По данным таблицы 5.3. определим медианное значение среднедушевого дохода. Для этого необходимо определить, какой интервал будет медианным. Используя формулу накопленной частоты до медианы, т.е. середины (%) .

Дробное значение S_Ме (всегда при четном числе членов) равное 50,5% говорит о том, что середина ряда находится между 50% и 51%, т.е. в третьем интервале. Отсюда медиана по формуле будет определена.

руб.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M₀<Me< имеет место правосторонняя асимметрия. Если же <Me<M₀ - левосторонняя асимметрия ряда. По приведенному примеру можно сделать заключение, что наиболее распространенным является доход порядка 271 руб. в месяц. В то же время более половины населения располагают доходом свыше 381 руб., при среднем уровне 435 руб. руб. Из соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевого денежного дохода.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части - квартили, на десять частей - децили, на сто частей - перцентили. Так формула первого квартиля будет . Второй квартиль равен медиане. Формула третьего квартиля будет .

Аналогичны формулы децилей. Пятый дециль равен медиане.

Среди множества варьирующих признаков существуют признаки, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие не обладают. Такие признаки называются альтернативными. Примером таких признаков являются: наличие бракованной продукции, ученая степень у преподавателя, наличие академической задолженности у студента и др. Обозначим: 1 — наличие интересующего нас признака; 0 — его

отсутствие; р — доля единиц, обладающих данным признаком; q — доля единиц, не обладающих данным признаком; тогда р+q=1.