4.9.Експериментально-статистичний підхід до оцінки якості об'ємних кристалів і структур
При масових виробничих вимірюваннях параметрів напівпровідникових матеріалів і структур слід враховувати, що останні є суцільним фізично неоднорідним середовищем. Тому дискретизація результатів цих вимірювань і статистичний підхід до їх обробки повинна бути достатньо обгрунтовані і аргументовані.
Візьмемо до уваги, що в результаті одиничного вимірювання якого-небудь фізичного параметра х в якій-небудь точці неоднорідного середовища обов'язково містить деяку невизначеність, зобов'язану своїм походженням наступними причинами:
випадкової складової погрішності вимірювань;
невідтворюваності повторних вимірювань абсолютно в тій же точці.
Роль першого з вказаних чинників достатньо добре вивчена ,тому більш детально зупинимося на аналізі об'ємної неоднорідності.
Причини виникнення об'ємної неоднорідності можуть носити як обумовлений, закономірний, так і випадковий характер.
Наприклад, якщо говорити про об'ємну домішкову неоднорідність в монокристалі напівпровідників, то до детермінованих причин її виникнення можна віднести: осьову і радіальну сегрегацію домішок, кривизну фронту кристалізації, вплив обертання злитка і тигля, вихід плоскої грані (III) на фронт кристалізації і ін. Ці детерміновані причини діють на фоні випадкових, флуктуаційних чинників, до числа яких можна віднести коливання швидкісних і температурних режимів вирощування, механічні вібрації, присутність неконтрольованих домішок та інше.
Сукупні дії детермінованих і випадкових чинників формує вельми складну по характеру об'ємну неоднорідність.
Якщо роль випадкових чинників неістотна, то розподіл параметра х за об'ємом речовини можна представити як якусь аналітичну функцію трьох циліндрових просторових координат:
х=F(r,l) (4.11)
, де r – радіальна - кутова і l – осьова координати.
При відомій функції розподілу середнє значення шуканого параметра х визначається у вигляді інтеграла:
(4.12)
де V – об'єм досліджуваного матеріалу, по якому проводиться усереднювання.
Проте, в більшості випадків аналітичний опис функції розподілу не представляється можливим з причини присутності в ній значного випадкового фону.
Тому функція розподілу будується статистично на підставі експериментального вивчення розподілу контрольованої величини х.
В основу такого підходу встановлена абстрагована модель, єство якої полягає в наступному:
досліджуваний об'єм V умовно розбивається на ряд кубиків об'ємом Z3, де Z – локальність (роздільна здатність) вимірювань;
кубики нумеруються відповідно до таблиці випадкових величин (1, 2. i. n);
значення величини х визначається в кожному елементарному кубику (x1, x2. xi. xn);
при вимірюванні xi скоюється помилка i (погрішність одиничного вимірювання).
Величина n визначається як максимальне можливе число вимірювань:
(4.13)
Немає значення брати крапки, що лежать один від одного на відстані, меншому локальності вимірювань Z, оскільки це не підвищує рівня інформації. Тільки у разі, коли ребро кубика більше або рівно Z, кожне з n вимірювань може вважатися незалежним.
За вищезгаданих умов статистичних аналог середнього значення шуканого параметра х у формулі 4.12 може бути виражений таким чином:
(4.15)
де - середньоквадратичне відхилення.
Статистичні оцінки будуть тим більше значимими , чим більше зроблено паралельних визначень i. У свою чергу, чим більше i, тим більше слід зробити визначень, не забуваючи, втім, що n>V/Z3 позбавлено фізичного значення. При заданих значеннях n і I може бути визначений довірча вірогідність вимірювань Р.
Прагнучи більшої достовірності і відтворності вимірювань, слід збільшувати об'єм проби, тобто погіршувати локальність і роздільну здатність. Спроби поліпшити локальність обов'язково зв'язані із зменшенням габаритів вимірювальної системи (датчика), що автоматично спричиняє за собою необхідність відповідного
підвищення точності вимірювань. Крім того, із зменшенням Z втрачається экспрессність (продуктивність) вимірювань, оскільки зростає n.
Цю взаємну суперечність основних метрологічних характеристик завжди слід враховувати при розробці і постановці тих або інших методів контролю параметрів напівпровідникових матеріалів.