I уровень

1.1. Найдите функцию, обратную данной, если она существует:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

1.2. Докажите, что пары функций являются взаимно-обрат­ными:

1) и если

2) и

3) и

4) и если

1.3. Постройте график функции и ей обратной (если она существует) в одной системе координат:

1) если 2)

3) 4) если

1.4. Найдите точку (точки), принадлежащую кривой для заданного значения х₀:

1)

2)

3)

1.5. Запишите функцию (функции) в явном виде:

1) 2)

3) 4)

1.6. Найдите соответствующие точки кривой, заданной параметрически, если указаны значения параметра t:

1) 2) 3)

II уровень

2.1. Найдите функцию, обратную данной, и постройте их графики в одной системе координат:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

2.2. Определите, обратима ли функция

2.3. Найдите точки пересечения графиков функции где и обратной ей функции.

2.4. Пусть графиком функции является полуокружность с центром О(0; 0) и радиусом, равным 5, расположенная в нижней координатной полуплоскости. Определите, существует ли функция, обратная данной.

2.5. Пусть задана функция

Найдите промежутки, на которых данная функция обратима.

2.6. Выразите явно у через х из уравнения и постройте данную линию:

1)

2) если

3) если

4) если

2.7. Постройте линию, заданную параметрически уравнениями:

1) 2)

3) 4)

III уровень

3.1. Найдите функцию, обратную данной, и постройте их графики в одной системе координат:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

3.2. Докажите, что функция обратна сама себе.

3.3. Найдите если функция обратна функции

4.3. Преобразования графиков

Приведем графики некоторых функций:

1) – прямая линия (рис. 4.7);

2) – квадратичная парабола (рис. 4.8);

Рис. 4.7 Рис. 4.8

3) – кубическая парабола (рис. 4.9);

4) – гипербола (рис. 4.10);

Рис. 4.9 Рис. 4.10

5) – график квадратного корня (рис. 4.11).

Рис. 4.11

Правила преобразования графиков:

Пусть дана функция

1. Для построения графика функции исходный график функции симметрично отображаем относительно оси Ох (рис. 4.12).

2. Для функции заданный график симметрично отображаем относительно оси Оу (рис. 4.13).

Рис. 4.12 Рис. 4.13

3. Для функции этот график получается параллельным переносом графика функции на масштабных единиц вдоль оси Оу вверх, если и вниз, если (рис. 4.14).

4. Для функции этот график получается параллельным переносом графика функции на масштабных единиц вдоль оси Ох вправо, если и влево, если (рис. 4.15).

Рис. 4.14 Рис. 4.15

5. Для функции где график функции «растянут» в k раз вдоль оси Оу (от оси Ох), если «сжат» в раз вдоль оси Оу (к оси Ох), если (рис. 4.16).

Рис. 4.16

6. Для функции где график «растянут» вдоль оси Ох (от оси Оу) в раз при «сжат» вдоль Ох (к оси Оу) в m раз, при (рис. 4.17).

Рис. 4.17

7. Для функции сохраняется та часть графика функции которая находится над осью Ох и на оси Ох, а та часть, которая находится под осью Ох, отображается симметрично оси Ох в верхнюю полуплоскость (рис. 4.18).

Рис. 4.18

8. Для функции часть графика функции соответствующая отрицательному значению х, отбрасывается, а неотрицательному – сохраняется и дополняется симметричной ей относительно оси Оу частью (рис. 4.19).

Рис. 4.19

Пример 1. Построить график функции

Решение. Преобразуем заданную функцию:

Получили

Для построения графика полученной функции используем следующие преобразования:

1. строим график функции

2. график функции получаем из графика функции путем движения его на единицу влево по оси Ох;

3. график функции получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Ох;

4. график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом на две единицы вниз по оси Оу (рис. 4.20).

Рис. 4.20

Пример 2. Построить график функции

Решение. Вначале преобразуем формулу, задающую функцию:

Шаги построения (рис. 4.21):

1)

2) – отображение симметрично оси Оу в левую полуплоскость;

3) – смещение вдоль оси Ох вправо на две единицы;

4) – увеличение коэффициента роста в два раза.

Рис. 4.21

Пример 3. Построить график функции и найти наибольшее значение функции, если

Решение.

Преобразуем функцию

Данный график может быть получен из графика функции следующими преобразованиями (рис. 4.22):

1) – смещение вдоль оси Ох на единицу влево;

2) – смещение вдоль оси Оу вверх на единицу;

3) – отображение той части графика у₃, которая расположена ниже оси Ох, в верхнюю полуплоскость (рис. 4.22). Заметим, что такие же преобразования необходимо применить к асимптотам функции (вертикальной) и (горизонтальной).

Анализ графика показывает, что наибольшее значение на функция достигает в точке Вычисляем его:

Рис. 4.22

Пример 4. Определить, при каком значении а уравнение имеет ровно 3 решения:

Решение. Решим задачу графически.

Построим графики функций и и исследуем, при каком значении а они имеют ровно 3 общие точки.

Строим график функции

Поскольку то

– это парабола, вершина которой смещена в точку

Для построения графика функции сохраняем ту часть графика параболы, которая находится над осью Ох и на оси Ох, а ту часть графика, которая находится под осью Ох, отображаем симметрично оси Ох в верхнюю полуплоскость.

– прямая, параллельная оси Ох (рис. 4.23).

Рис. 4.23

По построению видно, что ровно 3 решения будет тогда и только тогда, когда

Задания

I уровень

1.1. Постройте график функции:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

II уровень

2.1. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.2. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

2.3. Определите, при каком значении a система имеет ровно одно решение:

1) 2)

2.4. Определите, при каких значениях a система имеет ровно два решения:

1) 2)

В ответе запишите сумму полученных значений.

III уровень

3.1. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

3.2. Определите, при каком значении b система имеет:

1) одно единственное решение;

2) ровно три решения;

3) более трех решений;

4) не имеет решений.

3.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции если Выполните построение.

4.4. Неравенства с двумя переменными и их системы

Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида

(или знак ),

где – некоторое выражение с данными переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.

Основным методом решений данных неравенств является графический. Он заключается в том, что строят линии границ (если неравенство строгое, линии строят пунктиром). Уравнение границы получают, если в заданном неравенстве заменяют знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области.

Системы, содержащие неравенства с двумя переменными, вида

называются системами неравенств с двумя переменными. Решением данных систем является пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.

Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид

Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.

Пример 1. Решить систему

Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис. 4.24):

Рис. 4.24

Уравнение задает окружность с центром в точке О(0; 1) и R = 2.

Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0).

Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.

Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис. 4.24 показано наложением двух штриховок).

Задания