3.2. Арифметичні операції над векторами.

3.2.1. Множення вектора на число.

Означення (множення вектора на число). Множення вектора на число — це операція, результатом якої є вектор, паралельний вектору , співнаправлений вектору , якщо додатне, і протилежно направлений, якщо від’ємне, і який має довжину .

Отже, множення вектора на число — це розтягування або стискання вектора в разів (  1 — розтягування,  1 — стискання) з вибором того ж самого або протилежного напрямків, в залежності від того, додатне , чи від’ємне.

3.2.2. Сума двох векторів.

Означення (суми двох векторів за правилом трикутника). Нехай є два вектори і . Перенесемо вектор так, щоби його початок співпав з кінцем вектора . Сумою називається вектор, який сполучає початок вектора з кінцем вектора .

Означення (суми двох векторів за правилом паралелограма). Нехай є два вектори і . Перенесемо вектор так, щоби його початок співпав з початком вектора . Добудуємо вектори і до паралелограму, розглядаючи їх як суміжні сторони, проведемо діагональ паралелограму із спільного початку і , і зробимо цю діагональ вектором, встановивши його початком спільний початок і . Утворений таким способом вектор називається сумою .

Теорема (про еквівалентність означень суми векторів). Означення суми векторів за правилом трикутника і за правилом паралелограму еквівалентні, тобто визначають один і той самий результуючий вектор.

Доведення. Довести самостійно, розглянувши відповідний малюнок.

Безпосередньо з означення суми векторів випливає властивість операції додавання векторів, яка називається комутативність:

Для доведення розглянемо малюнок:

Тоді . — паралелограм.

Що вийде, якщо сполучити не кінець вектора з початком вектора , а навпаки?

Нехай , тоді .

Виконаємо паралельний перенос вектора в точку С, тоді , тоді , так як — паралелограм, то .

Виконаємо паралельний перенос вектора в точку О.

Отримуємо . Виконаємо паралельний перенос вектора в точку С.

, тоді - паралелограм, тобто ; .

Також безпосередньо з означення суми векторів випливає властивість операції додавання векторів, яка називається асоціативність:



3.2.3. Різниця двох векторів.

У шкільному підручнику з геометрії, як і в багатьох підручниках для вищої школи, означення різниці векторів вводиться, так би мовити, „самостійно” і проголошується, що коли є два вектори, і сполучити їх початки, і утворити вектор з початком у кінці вектора-від’ємника і з кінцем у кінці вектора-зменшуваного, то це і буде, за означенням, різниця даних векторів. Це правильно, але гранично заплутано. Насправді, таке заплутане означення є наслідком класичного означення різниці двох величин:

Означення (різниці двох векторів). Різницею двох векторів і називається такий вектор , сума якого з вектором дасть вектор .

Лема (про різницю векторів).

Доведення. На перший погляд може здатися, що нема чого доводити, але це — тільки на перший погляд. Дійсно, ліва частина формули — це результат операції, визначеної певним чином відповідним означенням. Права частина визначена означеннями операції множення вектора на число і операції додавання векторів. Отже, для доведення формули, треба взяти її праву частину , додати до неї вектор і пересвідчитись, що в результаті буде отримано вектор . Останнє довести самостійно, користуючись означеннями операцій множення вектора на число і додавання векторів.

З означення різниці векторів і з формули випливає геометричне правило побудови різниці двох векторів: суміщаємо (за допомогою паралельного переносу одного з векторів) початки векторів і ; з’єднуємо кінці векторів і відрізком прямої; перетворюємо відрізок у вектор з напрямком від кінця вектора до кінця вектора ; побудований вектор і є різницею векторів і .

3.2.4. Поняття лінійної комбінації векторів.

У формулюванні властивості асоціативності операції додавання векторів “задіяно” три вектори. Можна уявити ситуацію, коли результуючий вектор визначається будь-якою скінченною сукупністю “твірних” векторів (за приклад можна взяти знаходження результуючої сили у фізиці); при цьому вектори, що беруть участь у такій багатомісній операцій, можуть бути помножені на будь-які дійсні числа. Таким чином виникає поняття лінійної комбінації векторів:

Означення (лінійної комбінації векторів). Нехай задана будь-яка скінченна сукупність векторів

і така сама за кількістю сукупність дійсних чисел

.

Лінійною комбінацією вказаних векторів називається вираз

.

Зауваження. В означенні лінійної комбінації векторів залишився один невизначений момент, а саме: яким має бути порядок виконання операцій додавання? Відповідь: яким завгодно. Це випливає з властивості асоціативності операції додавання векторів (зрозуміло, що спочатку, у будь-якому порядку, ми множимо вектори на відповідні числа, а потім, у будь-якому порядку, сумуємо отримані вектори).