- •Розділ і.
- •§1. Метод координат.
- •1.1. Декартова система координат. Координати точки.
- •1.2. Відстань між двома точками. Рівняння кола та сфери.
- •1.3. Ділення відрізка у даному відношенні.
- •1.4. Пряма лінія на площині.
- •1.5. Площина в просторі.
- •1.6. Пряма лінія в просторі.
- •1.7. „За числами бачити фігури”.
- •§2. Перетин прямих ліній і площин.
- •2.1. Знаходження точки перетину двох прямих ліній на площині.
- •2.2. Знаходження точки перетину трьох площин у просторі.
- •Нехай маємо три площини
- •2.3. Перетин двох прямих на площині; одна з прямих задана канонічним рівнянням.
- •2.4. Знаходження точки перетину прямої і площини.
- •§3. Вступ до векторної алгебри.
- •3.1. Поняття вільного вектора.
- •3.2. Арифметичні операції над векторами.
- •3.3. Координатне подання арифметичних операцій над векторами.
- •3.4. Поняття одиничного декартового базису. Розкладення векторів за базисом.
- •3.5. Скалярний добуток векторів, його обчислення і застосування.
- •3.6. Точки та їх радіус-вектори.
- •§4. Розв’язання задач лінійного програмування малої
- •4.1. Математична модель задачі лінійного програмування.
- •4.2. Розв’язання злп.
- •§5. Векторний добуток векторів, його обчислення та застосування.
- •5.1. Поняття векторного добутку.
- •5.2. Властивості векторного добутку.
- •5.3. Координатне подання векторного добутку.
- •5.4. Координатне подання векторного добутку в детермінантній формі.
- •5.5. Контрольна перевірка правильності обчислення векторного добутку.
- •5.6. Застосування векторного добутку.
- •§6. Змішаний добуток векторів, його обчислення та застосування.
- •6.1. Поняття змішаного добутку.
- •6.2. Властивості змішаного добутку.
- •6.3. Координатне подання змішаного добутку.
- •6.4. Застосування змішаного добутку.
- •§7. Метричні характеристики і взаємне розташування геометричних об’єктів.
- •7.1. Точки і прямі лінії на площині.
- •7.2. Точки і площини в просторі.
- •7.3. Точки і прямі в просторі.
- •7.4. Пряма і площина в просторі.
- •7.5. Площі.
- •7.7. Дві прямі в просторі.
3.6. Точки та їх радіус-вектори.
Вектор, який сполучає початок координат (декартової площини або декартового простору) з якою-небудь точкою (цієї площини або простору), називається радіус-вектором цієї точки.
Точки та їх радіус-вектори знаходяться між собою у взаємно однозначній відповідності: кожна точка має свій радіус-вектор і радіус-вектори двох різних точок також різні. Арифметичні операції над векторами вже введені. Це дає змогу ввести арифметичні операції над точками:
нехай – деяка точка, – деяке число, тоді – це точка, радіус-вектором якої є радіус-вектор точки , помножений на число :
нехай – деякі точки, – їх радіус-вектори; тоді – це точка, радіус-вектором якої є вектор :
нехай – деяка точка, – деякий вектор – радіус-вектор точки ; тоді – це точка, радіус-вектор якої дорівнює :
Таким чином, додати вектор до точки – це означає перенести дану точку на даний вектор. Ця операція дозволяє без додаткових перетворень, пов’язаних, наприклад, з використанням формули для координат середини відрізку знаходити точку, симетричну даній точці відносно даної прямої. Нехай треба знайти точку , симетричну точці відносно прямої . Тоді , де – нормальний вектор прямої. Отже, (-5.45; 34.25).
§4. Розв’язання задач лінійного програмування малої
розмірності засобами аналітичної геометрії.
Приклад (задача про планування виробництва пилососів і вентиляторів). Побудова математичної моделі задачі. Структура задачі лінійного програмування (ЗЛП) (цільова функція, умови, прямі і непрямі умови, умова невід’ємності змінних). Допустима область ЗЛП. Схема побудови допустимої області. Аналіз поведінки лінійної функції (лінії рівня, напрямки зростання і спадання). Визначення точок максимуму і мінімуму цільової функції на допустимій області. Аналіз можливостей щодо існування, кількості і розташування у допустимій області оптимальних розв’язків ЗЛП.
4.1. Математична модель задачі лінійного програмування.
Ми будемо розглядати задачі пошуку екстремуму (мінімуму або максимуму), лінійної функції за умов, які є лінійними нерівностями або рівняннями, інакше кажучи, лінійні оптимізаційні задачі. Загальні методи розв’язання таких задач вивчаються дисципліною, яка зветься лінійне програмування (ЛП), а самі задачі — задачами лінійного програмування (ЗЛП). ЛП є, у свою чергу, підрозділом іншої дисципліни, що має назву математичне програмування.
Методику розв’язання ЗЛП малих розмірностей ми розглянемо на прикладі двовимірної ЗЛП:
4.1.1. Задача планування виробництва в умовах обмежених ресурсів.
Деяка фірма випускає пилососи і вентилятори. Серед матеріалів, потрібних для виготовлення виробів, “критичними” є мідний дріт і трансформаторне залізо (“критичні” - означає, що саме ці матеріали знаходяться в обмеженій кількості і саме вони визначають обсяг продукції). Для виготовлення одного пилососа потрібно 0,6 кг мідного дроту і 0.3 кг трансформаторного заліза, одного вентилятора - 0,3 кг мідного дроту і 0,2 кг трансформаторного заліза. В наявності є 48 кг мідного дроту і 30 кг трансформаторного заліза. Чистий прибуток від реалізації одного пилососа складає 120, а одного вентилятора – 70 умовних грошових одиниць. Треба визначити план випуску пилососів і вентиляторів (кількість пилососів і вентиляторів, яку потрібно виробити) для якого вистачило б запасів дроту і заліза і якому відповідав би максимальний прибуток.
4.1.2. Формалізація задачі планування виробництва в умовах обмежених ресурсів.
Вводимо змінні: - кількість пилососів, - кількість вентиляторів. Тоді потрібна кількість дроту та заліза буде такою:
-
дріт
залізо
х - кількість пилососів
у - кількість вентиляторів
0,6х
0,3у
0,3х
0,2у
(для одного потрібно 0,6 кг, а для х=0,6х).
Сумарна кількість дроту та заліза не повинна перевищувати їх запасів. Звідси отримуємо умови:
.
Цільова функція задачі - це функція прибутку від реалізації х пилососів і у вентиляторів. Цю функцію ми назвемо :
.
Прибуток (функцію ) ми хочемо максимізувати; отже маємо задачу пошуку екстремуму, а саме, максимуму (max), лінійної функції за умов, які є лінійними нерівностями, тобто лінійну оптимізаційну задачу.
4.1.3. Загальна структура задачі лінійного програмування.
Математична модель задачі ”Планування виробництва” має вигляд:
(цільова функція)
(непрямі обмеження)
(прямі обмеження
-
умова
невід’ємності змінних)