2.2. Знаходження точки перетину трьох площин у просторі.

Будь-яка площина в просторі може бути задана загальним лінійним рівнянням з трьома змінними

.

Нехай маємо три площини

,

,

.

Знаходження точки перетину площин зводиться до розв’язання СЛР, складеної з рівнянь цих площин, тобто квадратної СЛР з трьох рівнянь з трьома змінними

Далі ми будемо робити аналогічні перетворення, як і для СЛР 2х2, тобто такі, які виключають з рівнянь певну змінну. В результаті будуть отримані формули Крамера і сформульоване правило Крамера, які цілком аналогічні формулам і правилу Крамера для СЛР 2х2. Перед виконанням перетворень перенесемо вільні члени в праву частину рівнянь, перепозначивши їх (для позбавлення знаків „-”) іншими буквами:

За допомогою 1-го рівняння виключаємо змінну х з 2-го і 3-го рівнянь перетвореннями:

Маємо:

Друге і третє рівняння не містять змінної х (точніше х , входить у ці рівняння з коефіцієнтом 0) і утворюють СЛР 2х2 від у і z , до якої можна застосувати формули Крамера:

,

.

Розглянемо вираз у знаменниках дробів. Це визначник 2-го порядку, розкриваємо його за означенням, отримуємо:

дужками виділені доданки, які взаємно знищуються; маємо:

.

Так само розкриваємо визначники і – в чисельниках.

Вправа. Отримати розгорнуті вирази для і і переконатись у вірності виразів:

,

.

Маємо:

, ,

де

,

,

.

Вправа. Підставити отримані вирази для y та z у перше рівняння СЛР 3х3 , виконати необхідні перетворення й переконатись у вірності виразу:

,

де

.

Вирази для мають однакову алгебраїчну структуру, вони отримані за однією й тією самою схемою, причому складаються з елементів квадратних таблиць – квадратних матриць 3-го порядку:

,

,

,

.

Бачимо, що кожний вираз є алгебраїчною сумою шести доданків; кожний доданок є добутком трьох елементів матриці; три добутки беруться з їх знаками, три – з протилежними; які саме елементи утворюють добутки, і які добутки з якими знаками беруться, ілюструє така схема:

Означення (визначника 3-го порядку).

Визначником (або детермінантом) 3-го порядку, тобто визначником квадратної матриці 3х3

,

позначення:

або ,

називається число, обчислене за формулою

.

Нехай маємо квадратну СЛР розмірів 3х3, тобто СЛР, що складається з 3-х рівнянь від 3-х змінних

Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається основним визначником СЛР, визначники, отримані заміною в основному визначнику певного стовпчика на стовпчик вільних членів, називаються допоміжними визначниками СЛР.

Проведені міркування і виконані перетворення є доведенням теореми:

Теорема Крамера (для СЛР 3х3). Якщо основний визначник СЛР відмінний від нуля, то СЛР має, і до того ж єдиний, розв’язок, який можна обчислити за формулами Крамера:

,

де

, , , .

Приклад. Знайдемо точку перетину площин

,

,

.

Складаємо СЛР, вільні члени одразу переносимо в праві частини рівнянь:

З’ясовуємо можливість застосування правила Крамера (основний визначник СЛР має бути відмінний від нуля):

правило Крамера можна застосувати.

Обчислюємо допоміжні визначники:

,

, .

За формулами Крамера :

, , .

Перевірка (підставляємо знайдені значення змінних в кожне рівняння) :

Перевірка підтвердила правильність виконаних обчислень, отже точкою перетину площин є точка .