1.4. Пряма лінія на площині.

Так само, як і точка, пряма лінія в геометрії є неозначуваним поняттям. І так само ми зустрічаємо “означення” прямої в “Началах” Евкліда. Спочатку Евклід визначає поняття лінії: це “довжина без ширини”. Пряма лінія — це “лінія, яка однаково розташована по відношенню до кожної із своїх частин”.

В аналітичній геометрії, тепер, коли ми можемо ототожнити точки з парами чи трійками координат, можна дати означення прямої лінії: пряма — це геометричне місце точок, координати яких задовольняють лінійне рівняння (це означення прямої лінії на координатній площини):

.

Наведене рівняння зветься загальним рівнянням прямої і відоме з курсу математики для середньої школи; там же визначалось рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

.

Параметри у цьому рівнянні мають такий геометричний зміст: – кутовий коефіцієнт – тангенс кута нахилу прямої до додатного напрямку осі абсцис, – точка на осі ординат, через яку проходить пряма. Очевидною умовою паралельності прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів:

Тригонометрія дає умову перпендикулярності двох прямих. Нехай

,

(цей запис говорить, що прямі задані відповідними рівняннями), тоді умовою перпендикулярності цих прямих буде такий зв’язок між їх кутовими коефіцієнтами:

В цьому параграфі ми познайомимось ще з двома типами рівнянь прямої:

— канонічне рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

і :

;

— рівняння прямої “у відрізках”:

.

В цьому рівнянні і — це відрізки, які пряма відтинає на координатних осях; точніше буде сказати так: дана пряма проходить через точки і .

Поєднаємо тепер геометрію з алгеброю для розв’язання задачі: на даній прямій знайти точку, найближчу до заданої точки. Цю задачу будемо розглядати для конкретних заданих прямої та точки, а саме, нехай пряма лінія визначається рівнянням , а задана точка має координати .

В геометрії аналогом подібних задач, тобто задач на обчислення, є задачі на побудову (циркулем і лінійкою). Першим кроком у розв’язанні таких задач є аналіз, який починається словами: “припустимо, що задача розв’язана”. Далі будується ескізний малюнок, який аналізується щодо можливості побудови відповідної фігури. В аналітичній геометрії ми робимо аналогічне припущення: нехай — шукана точка прямої. Підставимо координати точок і у формулу відстані між двома точками:

.

Координати точки мають задовольняти рівняння прямої, отже

.

Звідси можна виразити одну з невідомих координат точки через іншу. В даному випадку доцільніше виразити через :

.

Підставимо вираз для у формулу для :

Точка має доставляти мінімум відстані , а отже, і функції .

В математичному аналізі за мінімуми “відповідає” теорема Ферма (§ 19), в аналітичній геометрії ми маємо у розпорядженні геометричні міркування і алгебраїчні перетворення.

Геометричні міркування. Найближча точка від даної на даній прямій – це основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на дану пряму. Перетворюємо рівняння даної прямої у рівняння з кутовим коефіцієнтом: . Кутовий коефіцієнт даної прямої . Кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої . Рівняння перпендикуляра . Знаходимо точку перетину даної прямої і перпендикуляра до неї – розв’язуємо систему рівнянь:

.

Звідси

і .

Отже, найближчою для точки на прямій буде точка .

Більш складним і цікавим щодо застосування методу координат є задача про визначення місця для побудови водокачки (див. Вступ).

За відправну точку при побудові математичної моделі задачі можна взяти таку аналітико-геометричну задачу: на осі абсцис знайти точку з мінімальною сумою відстаней до заданих точок і .

y

В

А

Х

0

x

( Берег річки)

Далі можна, знову ж таки, йти „простим” шляхом і звести задачу до

знаходження точки мінімуму ірраціональної функції:

,

для чого застосувати теорему Ферма. Тільки тоді доведеться розв’язувати не таке вже й просте ірраціональне рівняння (див. § 19).

Аналітична геометрія може дуже елегантно розв’язати цю задачу, використовуючи тонкі геометричні міркування:

Побудуємо точку , симетричну відносно прямої , що визначає лінію берега. З’єднаємо з . Шукана точка — це точка перетину з . Стверджується, що ця точка є шуканою (доведення цього факту є вправою для самостійного доведення).

Тепер алгебраїчна реалізація геометричної ідеї:

1. складаємо рівняння перпендикуляра до прямої , який проходить через точку ;

2. знаходимо точку перетину перпендикуляра з прямою (це буде середина відрізка ;

3. використовуючи формулу для координат середини відрізка, знаходимо координати точки ;

4. складаємо рівняння прямої, що проходить через точки і ;

5. розв’язуємо систему рівнянь, складену з рівняння даної прямої і прямої ; отримаємо координати шуканої точки .