7.7. Дві прямі в просторі.

7.7.1. Паралельність прямих.

Дослідження взаємного розташування двох прямих в просторі вимагає комплексного застосування апарату векторної алгебри. Розглянемо випадок, коли прямі задані своїми канонічними рівняннями. Отже, нехай

Знаменники дробів – це відповідні координати направляючих векторів прямих. Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх направляючі вектори колінеарні, звідки

.

7.7.2. Умова перетину просторових прямих.

Нехай тепер прямі непаралельні. Тоді вони або мимобіжні, або перетинаються. Розглянемо малюнок

З рівнянь прямих ми отримуємо інформацію про направляючі вектори прямих та про точки, що їм належать. Оскільки вектори в аналітичній геометрії є вільними, можна вважати, що їх початки співпадають з відповідними точками. Сполучимо ці точки і утворимо вектор . Очевидно, що прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли вони лежать в одній площині (це з урахуванням того, що прямі, за припущенням, непаралельні), а отже, тоді і тільки тоді, коли вектори є компланарними, тобто, тоді і тільки тоді, коли їх змішаний добуток дорівнює 0, остаточно

.

7.7.3. Знаходження пари найближчих точок на мимобіжних прямих.

Нехай тепер прямі і не паралельні, і не перетинаються, тобто вони мимобіжні. Тоді виникає важливе питання про знаходження пари найближчих точок на цих прямих. Геометричні міркування доводять, що така пара точок існує, і ці точки є кінцевими точками спільного перпендикуляра до цих прямих – на малюнку це перпендикуляр PQ :

Це поки що, так би мовити, „чиста” геометрія. Переходимо до аналітичної геометрії.

З рівнянь прямих ми отримуємо інформацію про координати точок, які належать прямим, та про координати векторів, паралельних даним прямим:

.

Пам’ятаємо, що вектори в аналітичній геометрії вільні (їх можна вільно переносити куди завгодно, але паралельно й зі збереженням довжини ), отже, маємо право вважати, що направляючі вектори прямих лежать на цих прямих і, більше того, виходять з точок відповідно А₁ і А₂:

Якщо прямі і і не паралельні, і не лежать в одній площині, то вони мимобіжні, лежать в паралельних площинах, і на кожній з них існує по одній-єдиній точці, які разом утворюють пару найближчих точок – ці точки є кінцевими точками спільного перпендикуляру до цих прямих.

Кожну точку з пари найближчих точок знаходимо послідовно, перекладаючи на аналітичну мову відповідні геометричні побудови.

Точка P, що належить прямій , є точкою перетину прямих і . Пряма є проекцією прямої на площину . Ця площина проходить через пряму і паралельна прямій ; отже ця площина однозначно визначається умовами: точка . Таким чином, за нормальний вектор цієї площини можна взяти векторний добуток і скласти рівняння цієї площини, маючи точку і нормальний вектор. Тепер увага: нашою метою є знаходження координат точки Р, а вона є точкою перетину прямої з проектуючою площиною , яка проектує пряму на площину :

Ця проектуюча площина проходить через пряму , а отже вона містить точку і направляючий вектор паралельний цій площині. Оскільки є проектуючою площиною, то вона є перпендикулярною до площини , а отже нормальний вектор площини має бути паралельним площині . Таким чином, проектуюча площина визначається такою інформацією:

.

Ми знову приходимо до можливості скласти рівняння площини , маючи точку і нормальний вектор, а саме: і . Приходимо до задачі знаходження точки перетину прямої і площини, розглянутої в §2.

Точку Q знаходимо аналогічними, точніше сказати, двоїстими, міркуваннями.

Вправа. Побудувати схему знаходження точки .

Приклад. З’ясуємо взаємне розташування прямих

,

.

Очевидно, що прямі і не паралельні. З’ясуємо, чи не є вони компланарні (а отже, чи не перетинаються вони):

не перетинаються.

Отже, прямі мимобіжні, і існує пара найближчих точок на цих прямих. Для знаходження однієї з цих точок, , складаємо рівняння площини , для чого спочатку знаходимо

.

Тепер обчислюємо

.

Для знаходження однієї з пари найближчих точок – точки Р – треба розв’язати СЛР:

Вправа. Завершити розв’язання задачі знаходження пари найближчих точок на прямих L₁ і L₂ .

- 88 -