6.2. Властивості змішаного добутку.

6.2.1. Геометричний зміст змішаного добутку.

Змішаний добуток за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах і , як на суміжних ребрах.

Відобразимо на малюнку векторний добуток векторів . За означенням векторного добутку його довжина дорівнює площині паралелограма, побудованого на і як на суміжних ребрах. В даному випадку: . Тоді, скалярний добуток , за означенням скалярного добутку, дорівнює добутку довжин цих векторів на .



Але відрізок є ні чим іншим як висотою паралелепіпеда . Змішаний добуток , що і треба було довести.

6.2.2. Критерій компланарності векторів і точок.

Вектори і звуться компланарними, якщо після зведення до спільного початку вони лежать в деякій одній і тій самій площині.

Теорема (критерій компланарності трьох векторів). Три вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх змішаний добуток дорівнює нулю.

Доведення. Якщо три вектори компланарні, то вектор потрапляє в площину і . Отже паралелепіпед вироджується: він не має висоти, тобто його висота дорівнює нулю, його об’єм теж дорівнює нулю, а з цього випливає, що змішаний добуток теж дорівнює нулю.

Нехай є деяка сукупність точок. Будемо називати ці точки компланарними, якщо усі вони лежать в деякій, одній і тій самій, площині.

Теорема (критерій компланарності чотирьох точок). Чотири точки компланарні тоді і тільки тоді, коли .

Доведення — виконати самостійно, спираючись на критерій компланарності трьох векторів.

6.2.3. Алгебраїчні властивості змішаного добутку.

Теорема. Змішаний добуток має властивості однорідності та аддитивності по кожному з векторів-множників, тобто:

( однорідність)

( адитивність)

Доведення — виконати самостійно, спираючись на відповідні властивості скалярного і векторного добутків.

6.3. Координатне подання змішаного добутку.

Принципово питання про координатне подання змішаного добутку “знімається” самим означенням змішаного добутку: це поняття є похідним від понять скалярного і векторного добутків, для яких координатне подання дано у попередніх лекціях. Дійсно, нехай вектори і задані своїми координатами:

тоді

.

Звідси

.

Якщо в отриманому виразі розкрити присутні в ньому визначники, то ми отримаємо досить громіздкий вираз. З ним незручно мати справу при виконанні проміжних перетворень і міркувань. Але при уважному погляді ми побачимо визначник третього порядку (див. §2), що дозволяє подати змішаний добуток у компактному і красивому вигляді. Нагадаємо, що за означенням, визначник третього порядку – визначник квадратної матриці третього порядку – обчислюється за формулою

.

Теорема (про координатне подання змішаного добутку). Нехай вектори і задані своїми координатами:

тоді змішаний добуток обчислюється за формулою:

.

Доведення. Ми знаємо, що векторний добуток при заданих координатах векторів-множників обчислюється наступним чином:

.

Відомо, що скалярний добуток дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів-множників. Отже, змішаний добуток буде дорівнювати:

.

Приклад. Нехай . Тоді

(отже, вектори і - компланарні).

Поєднуючи критерій компланарності трьох векторів з формулою координатного подання змішаного добутку, отримуємо: якщо вектори і задані своїми координатами: то необхідною і достатньою умовою компланарності цих векторів є співвідношення:

,

тобто рівність нулю визначника третього порядку, який складено з координат векторів і .