Внутренняя энергия и теплоемкость
Получим выражение для внутренней энергии и теплосодержания единицы массы жидкости.
Внутренняя
энергия единицы массы U
зависит от параметров состояния. Так
как p,
V,
T связаны
уравнением состояния, то независимыми
переменными являются только какие-нибудь
два из них, и можно считать: U
= U (V,
T), где
.
Отсюда полный дифференциал внутренней энергии равен
. (3.18)
Чтобы иметь
возможность проинтегрировать уравнение
(3.18) и получить расчетную формулу для
внутренней энергии, нужно определиться
с частными производными
и
.
Согласно первому закону термодинамики
, (3.18а)
где
– количество тепла, получаемое единицей
массы жидкости за время
(
не является полным дифференциалом).
Исключив из выражения (3.18) и (3.18а)
дифференциал
,
имеем следующее:
.
(3.19)
Введем понятие удельной теплоемкости с как физической величины, численно равной количеству тепла, которое необходимо сообщить (отнять) единице массы жидкости, чтобы изменить ее температуру на 1 К:
.
Если
тепло подводить к единице массы жидкости,
сохраняя постоянным объем, то удельную
теплоемкость называют теплоемкостью
при постоянном объеме –
если тепло подводить при p
= const – то
теплоемкостью
при постоянном давлении
–
В условиях, далеких от сжижения газов,
теплоемкость зависит от температуры
газа и почти не зависит от давления.
Тогда выражение для
имеет вид
.
Таким
образом, определился первый коэффициент
уравнения (3.18). Для определения
воспользуемся выражением для дифференциала
энтропии. Энтропия
– это функция, которая определяется
следующим дифференциальным уравнением:
.
Процессы, протекающие без теплообмена и при отсутствии потерь механической энергии, т. е. при S = const называются изоэнтропическими. С учетом уравнения (3.19) имеем следующее:
.
Так как dS – полный дифференциал, то накрест взятые частные производные от коэффициентов при dT и dV должны быть равны между собой. То есть
.
После
дифференцирования
и сокращения получаем
.
Для дальнейшего преобразования
воспользуемся уравнением состояния.
Для идеальных газов
.
Отсюда
,
т. е.
и
.
Для реальных газов, подчиняющихся
уравнению состояния Ван-дер-Ваальса
.
Теперь можно получить выражения для внутренней энергии (для идеального и реального газа):
(3.20)
где
– внутренняя энергия жидкости при
температуре Т
= 0 К; для
идеального газа
.
Установим
связь между теплоемкостями
и
.
Если уравнение состояния идеального
газа разрешить относительно V,
то получим
и
.
Из выражения (3.19) можно записать следующее:
.
Тогда при p = const
.
Для
идеальных газов
;
из уравнения состояния
и
.
Отсюда
.
Отношение удельных теплоемкостей
обозначим
,
тогда
,
а
.
Для
реальных газов
,
и
.
С учетом полученных зависимостей выражение для теплосодержания единицы массы неподвижного идеального газа (энтальпии) следующие:
.
Считая, что не зависит от температуры, выражение для энтальпии можно представить следующим образом:
.
Получим
выражение для энтропии идеального газа.
Так как
,
и
,
то, считая R
и
постоянными, выражение для дифференциала
энтропии можно привести к виду
,
,
.
После интегрирования получаем следующее:
.
(3.21)
Если рассматривается изоэнтропический или адиабатический процесс, для которого характерно постоянство энтропии (S = const), то и второе слагаемое в выражении (3.21) должно быть неизменным, т. е.
.
(3.22)
Выражение
(3.22) носит название адиабаты
Пуассона, и
в соответствии с этим показатель степени
в этом выражении k
называют показателем
адиабаты.
Соотношение (3.22) имеет место в частице,
и
может изменяться от частицы к частице.
При установившемся движении
на линии тока.
Предположение
о постоянстве
и
,
при котором получено соотношение (3.22),
справедливо в определенном диапазоне
температур, зависящем от физических
свойств газа. Величина показателя
адиабаты
зависит от структуры молекул газа: для
одноатомных газов
и
;
для двухатомных, к которым можно отнести
и воздух,
и
;
для трехатомных
.