Уравнение, выражающее закон сохранения энергии
Введем
следующие обозначения:
U – внутренняя
энергия единицы массы жидкости;
– ее кинетическая энергия. Тогда полная
энергия рассматриваемой массы жидкости
равна 
.
Применим закон сохранения энергии:
И
зменение
энергии некоторой массы жидкости за
некоторый промежуток времени равно
работе всех сил, приложенных к данной
массе жидкости (за данный промежуток
времени), плюс/минус количество тепла,
полученное за этот же промежуток времени
вследствие теплопроводности, лучеиспускания
или химических реакций.
Тогда изменение энергии в единицу времени запишем как
,
где первое слагаемое представляет собой изменение энергии рассматриваемой массы в единицу времени; второе – изменение энергии данной массы за счет переменности ее объема, которое по теореме Остроградского–Гаусса можно записать следующим образом:
.
Тогда
изменение энергии массы газа
представим в виде
. (3.13)
Изменение энергии некоторой массы газа может происходить за счет работы внешних сил и подвода или отвода тепла. Работа внешних по отношению к рассматриваемой системе сил складывается из трех составляющих:
– работа
сил давления в единицу времени;
– работа
сил трения в единицу времени;
– работа
массовых сил.
Тепло,
подводимое или отводимое от выделенного
объема, представим следующим образом:
где
– вектор потока тепла, проходящего
(уходящего) внутрь объема V
в единицу времени через единицу
поверхности;
– количество тепла, выделяемое
(поглощаемое) единицей массы в единицу
времени (объемное выделение тепла,
возможное, например, за счет химических
реакций).
Тогда
.
Преобразуем интегралы по поверхности в интегралы по объему:
;
воспользуемся выражением для изменения энергии данной массы (3.13) и после объединения интегралов, учитывая, что объем интегрирования произвольный, получим закон сохранения энергии в дифференциальной форме:
(3.14)
Преобразуем левую часть этого выражения следующим образом:
.
Тогда
(3.15)
Воспользуемся уравнением, выражающим закон изменения количества движения вязкой жидкости в векторном виде:
.
Умножим
его скалярно на вектор скорости
.
(3.16)
После подстановки уравнения (3.16) в уравнение (3.15) получаем
или после сокращений
.
(3.16а)
Из
уравнения неразрывности (3.1б) получаем
.
Тогда из уравнения (3.16а) получаем
– уравнение энергии в виде 1-го
закона термодинамики.
В
этом уравнении
– количество тепла, получаемое единицей
массы жидкости в единицу времени, в
которое входит диссипативная функция
,
представляющая собой количество тепла,
выделяемого в данном объеме за счет
работы сил трения. Все сообщенное
количество тепла идет на увеличение
внутренней энергии жидкости и на
совершение ею механической работы.
Если
,
то мы наблюдаем адиабатический процесс.
Как следует из уравнения энергии, это
возможно, если жидкость идеальная (нет
сил трения), отсутствует теплопередача
между частицами жидкости и объемное
выделение тепла.
Представим
уравнение энергии в другом виде, введя
в рассмотрение функцию
– теплосодержание единицы массы
движущейся жидкости (
– теплосодержание единицы массы
покоящейся жидкости). Добавим к левой
и правой частям уравнения энергии (3.14)
равенство
Преобразуем первые три слагаемые в правой части:
и получим следующее уравнение:
(3.17)
Из уравнения (3.17) следует, что при адиабатическом процессе (теплосодержание Н = const) должны выполняться следующие условия:
и
т.
е. давление не должно зависеть от времени,
а вектор массовых сил должен быть
перпендикулярен вектору скорости или
равен нулю. Так как в этом случае правая
часть равенства обращается в нуль (
),
то
или
в интегральном виде уравнение энергии
будет выглядеть следующим образом:
.
Далее получим выражение для внутренней
энергии.