Функции одной случайной величины
Определение.
Функцией
одной случайной величины
называется случайная величина
,
которая принимает значения
с вероятностями
.
Если закон распределения случайной величины задан таблицей 1, то закон распределения случайной величины можно записать в виде:
Таблица 8.
|
|
|
... |
|
|
|
|
… |
|
Пример 3. Закон распределения случайной величины задан таблицей 9:
Таблица 9.
-
0,2
0,7
0,1
Найти
закон распределения случайной величины
.
Решение. Возможными значениями случайной величины являются
;
;
.
Так
как случайной величины
принимает значение
,
если случайная величина
примет значения
или
,
причем события
и
несовместны, то по теореме сложения
находим
=
.
Вероятность
события
совпадает с вероятностью события
.
Поэтому закон распределения случайной величины можно записать в виде таблицы 10
Таблица 10.
-
0,5
1
0,9
0,1
Сумма, разность, произведение случайных величин.
Пусть
заданы законы распределения двух
дискретных случайных величин: случайная
величина
принимает значения
с вероятностями
,
а случайная величина
принимает значения
с вероятностями
.
Определение. Две случайных величины и называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Если
случайные величины
и
независимы, то независимы любые события
и
,
а поэтому
,
если случайные величины и зависимы, то
.
Примером двух независимых величин могут служить – размер выигрыша
в одной лотерее, а – размер выигрыша в другой.
Аналогично
определяется независимость событий
,
,...,
.
Определение. Случайные величины , ,..., называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не изменяется в зависимости от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины.
Будем в дальнейшем рассматривать только независимые случайные величины и .
Определение.
Суммой двух
случайных величин
и
называется случайная величина
,
возможными значениями которой являются
допустимые суммы
,
а вероятности этих значений находятся
по формуле
.
Аналогично определяются такие действия как разность и произведение двух случайных величин.
Определение.
Разностью
(произведением) двух случайных величин
и
называется случайная величина
,
возможными значениями которой являются
допустимые разности
(произведения
),
а вероятности этих значений находятся
по формуле
.
Введенные операции над случайными величинами можно обобщить на любое конечное количество случайных величин.
Пример 1. Заданы законы распределения двух дискретных случайных величин.
Таблица 11. Таблица 12.
|
1 |
3 |
5 |
|
|
0 |
3 |
|
0,1 |
0,3 |
0,6 |
|
|
0,2 |
0,8 |
Найти
закон распределения случайной величины
.
Решение. Пользуясь определением произведения случайных величин, находим
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
0,06 |
0,12 |
0,08 |
0,24 |
0,48 |
Запишем
закон распределения случайной величины
так, чтобы каждое значение входило в
таблицу один раз, и значения в таблице
были расположены в порядке возрастания
Таблица 13.
|
0 |
3 |
9 |
15 |
|
0,2 |
0,08 |
0,24 |
0,48 |
Найдем
теперь закон распределения
(таблица 14), а затем закон распределения
(таблица
15):
Таблица 14. Таблица 15.
|
0 |
9 |
|
|
0 |
27 |
|
0,2 |
0,8 |
|
|
0,2 |
0,8 |
Рассматривая законы распределения случайных величин (таблица 13) и (таблица 15) находим закон распределения случайной величины с помощью правила сложения двух случайных величин
Таблица 16.
|
0 |
3 |
9 |
15 |
27 |
30 |
36 |
42 |
|
|
0,04 |
0,016 |
0,048 |
0,096 |
0,16 |
0,064 |
0,192 |
0,384 |
|