Тема 16. Позиционные игры Понятие позиционной игры и ее нормальной формы
Естественным расширением матричной игры двух игроков с нулевой суммой является позиционная игра, в которой может принимать участие более двух (конечное число) игроков, каждый из них может последовательно делать конечное число ходов, некоторые ходы могут быть случайными, а сведения о них могут меняться от хода к ходу. Такие игры могут быть формализованы, определенным образам преобразованы в игру, эквивалентную некоторой матричной игре двух игроков с нулевой суммой. Процесс сведения позиционной игры к матричной называется нормализацией, а полученная матричная игра — игрой в нормальной форме.
Рассмотрим сначала пример, иллюстрирующий этот процесс.
Пример.
Игра состоит из трех ходов, которые
делают два игрока. Первый ход делает
первый игрок: он выбирает число
из множества двух чисел
.
Второй ход делает второй игрок: зная, какое число выбрано первым игроком в первом ходе, он выбирает число у из множества двух чисел .
Третий
ход делает первый игрок: зная, какое
число у
выбрал второй игрок, и помня, какое число
он выбрал при первом ходе, выбирает
число
из множества двух чисел
.
На этом игра заканчивается и происходит
распределение выигрышей, второй игрок
платит первому сумму, определенную
функцией
,
где М
задана следующим образом:
Для сведения этой позиционной игры к нормальной форме воспользуемся понятием стратегии игрока, как набора правил и указаний, как надо поступать ему во всех мыслимых ситуациях или при любом мыслимом состоянии информации, получаемой в любой момент игры. Рассмотрим сначала мыслимые стратегии второго игрока. Ясно, что у него имеется возможность выбора одного из двух чисел 1 или 2, т. е. имеется две возможности. Кроме того, у него есть информация о выбранном числе при первом ходе, следовательно, он, выбирая число у, может учитывать или не учитывать эту информацию, поэтому для каждого у имеется еще два значения , т. е. всего четыре стратегии:
1-я – выбирать y=1, не взирая на ,
2-я – выбирать y=2, не взирая на ,
3-я – выбирать y= ,
4-я – выбирать y=1, если =2, и выбирать y=2, если =1.
Другими словами, у второго игрока столько стратегий, сколько имеется способов отображения множества в себя.
Стратегия
для первого игрока должна учитывать
результаты сделанных ранее выборов.
При каждом выборе на первом ходе может
быть два выбора на втором ходе, т. е. уже
имеется четыре варианта, а при каждом
из этих вариантов может быть сделано
два выбора, т. е. всего 8 возможных
стратегий. Обозначим через
стратегию первого игрока: где
означает выбор первым игроком на первом
ходе;
— выбор первым игроком на третьем ходе,
если второй игрок на втором ходе выбрал
число 1:
— выбор первым игроком на третьем ходе,
если второй на втором ходе выбрал число
2.
Например,
означает следующую стратегию первого
игрока: на первом ходе он выбирает число
1 (первая цифра в скобках), а на третьем
ходе он выбирает число 2, стоящее на
втором месте в скобках, если второй
игрок на втором ходе выбрал число 1; если
же второй игрок на втором ходе выбрал
число 2, то первый игрок на третьем ходе
должен выбрать число 1, стоящее на третьем
месте в скобках.
Теперь приведем матрицу выигрышей первого игрока в зависимости от применяемых стратегий (табл. 1), где столбцы соответствуют стратегиям второго игрока, а строки — стратегиям первого игрока.
Таблица 1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1,1,1 1,1,2 1,2,1 1,2,2 2,1,1 2,1,2 2,2,1 2,2,2 |
1,1,1=-2 1,1,1=-2 1,1,2=-1 1,1,2=-1 2,1,1=5 2,1,1=5 2,1,2=2 2,1,2=2 |
1,2,1=3 1,2,2=-4 1,2,1=3 1,2,1=-4 2,2,1=2 2,2,2=6 2,2,1=2 2,2,2=6 |
1,1,1=-2 1,1,1=-2 1,1,2=-1 1,1,2=-1 2,2,1=2 2,2,2=6 2,2,1=2 2,2,2=6 |
1,2,1=3 1,2,2=-4 1,2,1=3 1,2,2=-4 2,1,1=5 2,1,1=5 2,1,2=2 2,1,2=2 |