Тема 12. Игры и их решение с помощью линейного программирования

Между матричными играми и линейным программированием существует взаимосвязь, состоящая в том, что, с одной стороны, решение любой матричной игры можно свести к решению пары двойственных друг другу задач линейного программирования специалыуэго вида, а с другой стороны, наоборот, любая задача линейного программирования, у которой существует решение, может быть сведена к матричной игре специального вида. Таким образом, в этом смысле теория линейного программирования эквивалентна теории матричных игр.

Сформулируем теорему, устанавливающую сведение решения любой матричной игры к решению пары двойственных задач линейного программирования специального вида. При этом будем предполагать, что все элементы матрицы игры

		…
		…
…	…	…	…
		…

положительны:

(12.1)

Условие (12.1) не умаляет общности, поскольку матрица с любыми элементами может быть приведена к матрице с положительными элементами аффинным преобразованием

где , по которому к каждому элементу исходной матрицы прибавляется достаточно большое положительное число , например, большее максимального модуля неположительных элементов матрицы; при этом оптимальные стратегии остаются прежними, а цена игры увеличивается на прибавленную константу .

Теорема 20.1. Решение матричной игры тхп с матрицей А, элементы которой удовлетворяют условию (12.1), эквивалентно решению следующей пары двойственных друг другу стандартных задач линейного программирования:

найти , при ограничениях

(12.2)

найти при ограничениях

(12.3)

Точнее говоря, если - оптимальное решение задачи (12.2), - оптимальное решение задачи (20.3), то

(12.4)

• цена игры с матрицей А,

(12.5)

• оптимальная стратегия игрока А,

• оптимальная стратегия игрока В.

Пример. Необходимо найти решение матричной игры 3x3 с матрицей

B A
	7	2	9
	2	9	0
	9	0	11

Чтобы сделать все неотрицательными, прибавим ко всем элементам матрицы . Получим матрицу:

B A
	7	2	9
	2	9	0
	9	0	11

При этой цена игры увеличится на 5, а решение не изменится.

Определим оптимальную стратегию . Условия (12.3) имеют вид:

(12.6)

где

Чтобы избавиться от знаков неравенства, введем фиктивные переменные ; условия (12.6) запишутся в виде:

(12.7)

Линейная форма Ф имеет вид:

и должна быть сделана как можно меньше.

Если все три стратегии В являются «полезными», то все три фиктивные переменные обратятся в нуль (т. е. выигрыш, равный цене игры , будет достигаться при каждой стратегии ). Но мы пока не имеем оснований утверждать, что все три стратегии являются «полезными». Чтобы проверить это. попытаемся выразить форму Ф через фиктивные переменные и посмотрим, добьемся ли мы, полагая их рапными нулю, минимума формы. Для этого разрешим уравнения (5.7) относительно переменных (т. е. выразим через фиктивные переменные ):

(12.8)

Складывая получим:

(12.9)

В выражении (12.9) коэффициенты при всех положительны; значит, любое увеличение сверх нуля может привести только к увеличению формы Ф, а мы хотим, чтобы она была минимальна. Следовательно, значениями обращающими форму (12.9) в минимум, являются

Подставляя их в формулу (12.9), находим минимальное значение формы Ф: ,

откуда цена игры .

Подставляя нулевые значения в формулы (5.8), находим:

,

или, умножая их на ,

.

Таким образом, оптимальная стратегия А найдена:

,

т. е. мы должны в одной четверти всех случаев писать цифру 1, в половине случаев 2 и в остальной четверти случаев 3.

Зная цену игры , можно уже известными способами найти оптимальную стратегию противника

.

Для этого воспользуемся нашими любыми двумя «полезными» стратегиями (например, и ) и напишем уравнения:

откуда .Оптимальная стратегия противника будет такой же, как наша:

.

Теперь вернемся к первоначальной (не преобразованной) игре. Для этого нужно только от цены игры отнять величину , прибавленную к элементам матрицы. Получим цену исходной игры . Следовательно, оптимальные стратегии обеих сторон обеспечивают средний выигрыш, равный нулю; игра в одинаковой мере выгодна или невыгодна для обеих сторон.