Тема 10. Игры 2хп
Рассмотрим игру с матрицей
|
|
|
|
… |
|
A= |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
В этой игре игрок А обладает двумя чистыми стратегиями и , а игрок В имеет п чистых стратегий , ,…, .
Известно,
что показатель эффективности стратегии
Если
,
то
,
поскольку
.
Тогда
будет
выражаться формулой
Таким
образом,
представляет собой
нижнюю
огибающую п
линейных функций
,
от вероятности
,
график каждой из которых есть отрезок,
возрастающий (положительного наклона),
убывающий (отрицательного наклона) или
горизонтальный, в зависимости от того,
положителен, отрицателен или равен нулю
угловой коэффициент
этой
линейной функции.
Стратегия
,
удовлетворяющая равенству
(10.1)
где, напомним,
- множество всех смешанных (в том числе
и чистых) стратегий игрока
А, является
(по основной теореме 8.1 матричных игр
фон Неймана, см. [9])) оптимальной, т.е.
абсцисса
максимальной (наивысшей) точки нижней
огибающей
определяет оптимальную стратегию
,
придерживаясь
которой игрок
А выбирает
свои чистые стратегии случайным образом,
причем стратегию
- с вероятностью
,
а стратегию
- с
вероятностью
.
По теореме фон Неймана
,
(10.2)
т.е. цена игры V равна ординате максимальной точки нижней огибающей.
Таким образом, мы можем сформулировать алгоритм геометрического (графического) нахождения оптимальных стратегий игрока А и цены игры.
Алгоритм "А "
1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].
2. Через концы отрезка [0,1] проводим к нему два перпендикуляра: левый и правый.
3. На левом перпендикуляре, лежащем на вертикальной числовой оси, от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы первой строки матрицы А.
4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второй строки матрицы А.
Замечания к пунктам 1, 3, 4. Масштабы на левом и правом перпендикулярах должны быть одинаковыми, не обязательно совпадающими с масштабом горизонтального отрезка [0,1].
5.
Каждую пару точек, изображающих элементы
и
стоящие в
-м
столбце матрицы
А, соединяем
отрезком
.
Таким образом, будут построены
отрезков, представляющих собой графики
линейных функций
(10.3)
6.
Если все отрезки
,
-
неубывающие (имеют неотрицательный
наклон):
,
то стратегия
доминирует
стратегию
.
Если все
отрезки
,
,
возрастающие (имеют положительный
наклон):
,
то стратегия
строго доминирует стратегию
.
7.
Если все отрезки
,
невозрастающие (имеют неположительный
наклон):
то стратегия
доминирует
стратегию
.
Если все отрезки
,
убывающие (имеют отрицательный наклон):
,
то стратегия
строго доминирует стратегию
.
8.
Если отрезок
лежит не ниже отрезка
,
,то
стратегия
доминирует стратегию
.
Если отрезок
лежит
выше отрезка
,
,
то стратегия
строго доминирует стратегию
.
9. Находим (выделяем) нижнюю огибающую (10.1) семейства отрезков (10.3), которая в общем случае будет представлять собой выпуклую вверх ломаную, а, в частности, может быть и отрезком.
10. На нижней огибающей находим максимальную (наивысшую) точку (или точки).
11. Абсцисса этой точки (удовлетворяющая равенству (10.1)) является вероятностью выбора игроком А чистой стратегии А2 в оптимальной смешанной стратегии
12. Ордината наивысшей точки нижней огибающей является ценой игры V (см. 10.2)).
13. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях .
14. Нижний из верхних концов отрезков , , есть верхняя цена игры в чистых стратегиях .
15. Элемент матрицы А, изображающая точка которого является нижней на перпендикуляре, где она лежит, и верхним концом отрезка, на котором она лежит, будет седловой точкой игры.
В этом случае чистая стратегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.
Рис. 10.1
На
рис. 10.1 из
отрезков
,
,
указаны три, которые принимают участие
в конструировании нижней огибающей,
выделенной жирной линией;
N - максимальная
точка этой огибающей;
р° - абсцисса
точки N,
следовательно
- оптимальная
смешанная стратегия игрока
А: цена игры
V равна
ординате точки N;
нижняя цена игры в чистых стратегиях
;
верхняя цена игры в чистых стратегиях
;
на рисунке видно, что
.
Теорема 16.1. Если через максимальную точку N нижней огибающей отрезков , порождаемых чистыми стратегиями , игрока В, проходят два каких-либо отрезка , , , то абсцисса
точки N
(10.4)
и, следовательно,
,
(10.5)
а цепа игры
.
(16.7)
Теорема 16.2. Пусть через максимальную точку N нижней огибающей отрезков , порождаемых чистыми стратегиями , игрока В, проходят два каких-либо отрезка , , .
Для того чтобы смешанная стратегия игрока В, где
,
,
была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы отрезки и имели разные наклоны.