Системы счисления
Цель: Получение сведений о различных системах счисления и их применении для ЭВМ. Получение практических навыков по переведу чисел из одной системы счисления в другую и выполнению арифметических операций в различных системах счисления.
1 Теоретическая справка
Для регистрации сигналов используются различные средства их формализации – изображения, символы и т.д. Для отображения количественных характеристик описываемых объектов и последующей обработки этой информации уже в древности были изобретены специальные знаки (цифры) и приемы их комбинирования.
Совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью цифр называют системой счисления. В любой такой системе имеется ряд символов называемых базисными цифрами; все остальные числа отображаются с помощью базисных цифр посредством определенных математических операций.
Системы счисления различаются как выбором базисных цифр, так и правилами образования из них произвольных чисел. Все их можно разделить на два больших класса – непозиционные и позиционные.
В непозиционных системах значение цифры не зависит от места, занимаемого ею в записи числа. Примером может служить римская система счисления.
В позиционных системах счисления значение любой базисной цифры зависит от ее места в записи числа; это место называется позицией, а количество используемых базовых - основанием системы счисления.
Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, основание, как правило, не указывается.
Рассмотрим последовательность цифр, изображающую некоторое число, в котором целая и дробная части разделены запятой:
.
Если
считать, что приведенная выше
последовательность изображает число
в системе счисления с основанием k,
то каждая из цифр этой последовательности
может принимать одно из значений
диапазона
.
Для оценки количественного значения каждого разряда числа используется основание системы счисления, которое указывает, во сколько раз единица i+1 разряда больше единицы i младшего разряда. Учитывая сказанное, заданное число можно представить так:
(1)
Данное выражение используется для записи чисел в любой позиционной системе счисления.
где
- цифры в представлении данного числа.
Так например,
Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Особенно удобна для ЭВМ двоичная система, так имеет несомненные технические и математические преимущества;
при ее аппаратной реализации можно использовать физические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.д.);
представление информации посредством только двух состояний особенно надежно и помехоустойчиво;
возможно применение стандартного аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований.
Рассмотрим таблицу чисел в различных системах счисления:
Таблица 1 – Числа в различных системах счисления
Десятичная система счисления |
Двоичная система счисления |
Восьмеричная система счисления |
Шестнадцатеричная система счисления |
0 |
0000 |
00 |
0 |
1 |
0001 |
01 |
1 |
2 |
0010 |
02 |
2 |
3 |
0011 |
03 |
3 |
4 |
0100 |
04 |
4 |
5 |
0101 |
05 |
5 |
6 |
0110 |
06 |
6 |
7 |
0111 |
07 |
7 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
12 |
A |
11 |
1011 |
13 |
B |
12 |
1100 |
14 |
C |
13 |
1101 |
15 |
D |
14 |
1110 |
16 |
E |
15 |
1111 |
17 |
F |
16 |
10000 |
20 |
10 |