6.3.5Метод хорд.
Дана функция f(x), непрерывная на a,b и удовлетворяющая условию f(a) * f(b) <= 0. Очередное приближение xK корня в методе хорд вычисляется по формуле
xk = xk-1 + f(xk-1) * (xk-1 - d) / (f(d) - f(xk-1)),
где xk-1 - предыдущее приближение корня, d - неподвижная граница отрезка, f(d) и f(xk-1) - значения функции в точках d и xk-1.
В качестве начального приближения x0 принимается одна из границ отрезка, удовлетворяющая условию
f(x0) * f''(x0) < 0 (6.1),
где f ''(x0) - значение второй производной функции в точке x0.
Противоположная граница будет неподвижной (точка d). Вычисления корня прекращаются при условии, что
abs(xk - xk-1) <= Eps и abs(f(xk)) <= Eps.
Пример вычисления корня уравнения методом хорд в среде Mathcad показан в п. 6.5.2. Процесс вычисления корня уравнения методом хорд показан на Рис 6.1.б.
Рис 6.1.б. Метод хорд
6.3.6Метод касательных (метод Ньютона).
Даны функция f(x) и ее первая производная f'(x), непрерывные на a,b. Функция f(x) удовлетворяет условию f(a)*f(b) <= 0. Очередное приближение xk корня в методе касательных вычисляется по формуле
xk = xk-1 - f(xk-1) / f '(xk-1),
где xk-1 - предыдущее приближение корня, f(xk-1), f'(xk-1) значения функции и ее первой производной в точке xk-1.
В качестве начального приближения x0 принимается одна из границ отрезка, удовлетворяющая условию
f(x0) * f''(x0) > 0 (6.2).
Вычисления корня прекращаются при условии, что
abs(xk - xk-1) <= Eps и abs(f(xk)) <= Eps.
Пример вычисления корня уравнения методом касательных в среде Mathcad показан в п.6.5.3. Процесс вычисления корня уравнения методом касательных показан на Рис. 6.1.в.
Рис, 6.1.в. Метод касательных (метод Ньютона)
6.3.7Метод итераций.
Требуется найти корень уравнения
f(x) = 0 (6.3),
который расположен внутри отрезка a,b. Предполагается, что f(x) непрерывна и имеет единственный корень на a,b.
Исходное уравнение преобразуется к виду
x = Fi(x) (6.4) .
Пусть x0 некоторая точка из a,b. Подставим x0 в уравнение (6.4) и вычислим x1
x1 = Fi(x0).
Затем вычислим x2,x3, и т.д. На K-м шаге вычислим xk
xk= Fi(xk-1).
Если последовательность x1,x2,...,xk при k имеет конечный предел x* = lim xk, то x* является корнем уравнения.
Теорема 3. Если Fi(x) определена и дифференцируема на всей числовой оси и существует положительное число q < 1, такое, что для всех x выполняется неравенство abs(Fi'(x))<q, то уравнение (6.1) имеет единственный корень и процесс итерации сходится к этому корню независимо от выбора числа x0.
Чтобы уравнение f(x) = 0 удовлетворяло требованию теоремы 3, его следует преобразовать следующим образом.
Умножим левую и правую части уравнения (6.3) на некоторый множитель L. Тогда получим
L * f(x) = 0 (6.5) .
Добавим в левую и правую части уравнения (6.5) по x
x = x + L * f(x).
Введем обозначение Fi(x) = x + L * f(x). Первая производная Fi'(x) будет равна
Fi '(x) = 1 + L * f '(x).
Если множитель L выбрать таким, чтобы
abs(1 + L * f '(x)) < 1 (6.6) ,
то условие теоремы 3 будут выполнены, что гарантирует сходимость итерационного процесса к корню уравнения.
Пример вычисления корня уравнения методом итераций в среде Mathcad показан в п.6.5.4.