- •Лабораторная работа №1
- •Математическое ожидание и дисперсия квазиравномерной случайной величины имеют вид
- •Треугольное распределение. Случайная величина X имеет треугольное распределение на интервале [а, b], если ее плотность вероятности вычисляется по Формуле
- •Плотность треугольного распределения
- •Плотность показательного распределения Нормальное распределение. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами m и σ2, если ее плотность вероятности вычисляется по формуле
- •Плотность нормального распределения
Лабораторная работа №1
Генератор случайных чисел
Теоретическое обоснование.
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (какое именно, заранее неизвестно). Вероятностные свойства случайных величин описываются законом распределения, т.е. соотношением, устанавливающим связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь различные формы. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретные случайные величины
Дискретной случайной величиной называют величину, принимающую только конечное или счетное множество значений. Для описания дискретной случайной величины X, принимающей конечное множество значений, часто применяется таблица вида
xi |
x1 |
x2 |
… |
xn-1 |
xn |
P(X=xi) |
p1 |
p2 |
|
pn-1 |
pn |
Здесь xi — возможные значения случайной величины X, pi = Р(Х = xi) — вероятность события, что случайная величина X примет значение xi (1 < i < n). Отметим, что
В последнем выражении суммирование ведется по всем таким номерам i, для которых хг < и. Совокупность вероятностей pi = Р(Х = xi) часто называют функцией вероятностей, а вероятность
Р(Х < и) обозначают как F(u) и называют функцией распределения случайной величины X.
Непрерывные случайные величины
Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-либо интервал (в том числе, бесконечный). Для непрерывной случайной величины X в качестве закона распределения выступает функция распределения F(u), численно равная вероятности того, что случайная величина X окажется меньше заданного числа и, т.е. F(u) = Р(Х < и). Функция F(u) — непрерывная функция, неубывающая и принимающая значения в интервале от 0 до 1.
Отметим, что распределение непрерывной случайной величины невозможно задать с помощью вероятностей отдельных значений подобно распределениям дискретных случайных величин, поскольку Р(Х = x) = 0 для любого значения х. Но если функция F(u) дифференцируемая, то можно определить вероятность попадания случайной величины X в какой-либо малый интервал длиной dx, примыкающий к точке х, и при этом Р(х <= X <= х + dx) = f(x)dx, где f(x) — производная функции F(u) в точке х. Функция f(x) называется плотностью вероятности случайной величины X. Она может принимать только неотрицательные значения. Из определения плотности вероятности следует, что
U +∞ b
F(u) = ∫ f(x)dx, ∫ f(x)dx = 1, P(a < X < b) = ∫f(x)dx = F(b)- F(a).
-∞ -∞ a
Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Чтобы определить закон распределения случайной величины, достаточно задать ее плотность вероятности или функцию распределения. Однако, для решения многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числа, характеризующие распределение, так называемые числовые характеристики случайной величины. Из числовых характеристик наиболее часто используются моменты случайной величины. Первый момент называется математическим ожиданием (или средним случайной величины) и вычисляется по одной из следующих формул (первая формула применяется для дискретных случайных величин, а вторая — для непрерывных):
MX=∑xipi MX=∫xf(x)dx
Величина MX характеризует среднее положение значений случайной величины X.
Второй центральный момент характеризует разброс значений случайной величины вокруг значения MX и называется дисперсией. Дисперсия DX (часто также используют обозначение σ2 или σх2) вычисляется по формулам (первая формула применяется для дискретных случайных величин, а вторая — для непрерывных)
Равномерное непрерывное распределение. Непрерывная случайная величина ξ имеет равномерное распределение в интервале (a,b), если её функция плотности f(x) и распределения F(x) имеют вид:
или графически
В этом случае числовые характеристики случайной величины ξ, принимающей значения x – математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно будут:
Если границы интервала a=0, b=1 то функции плотности и распределения имеют вид
а математическое ожидание M|ζ| = 1/2 и дисперсия D|ζ| = 1/12.
Это распределение нужно получить на компьютере. Но получить его на цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с n-разрядными числами. Поэтому на ЭВМ вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала (0, 1) используют дискретную последовательность 2n случайных чисел того же интервала. Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным распределением.