3.3Линейная независимость векторов. Базис.

Линейной комбинацией системы векторов называется вектор

где - произвольные числа.

Если все то линейная комбинация называется тривиальной. В этом случае, очевидно, .

Определение 5.

Если для системы векторов существует нетривиальная линейная комбинация (хотя бы одно ) равная нулевому вектору: (1) то система векторов называется линейно зависимой. Если равенство (1) возможно только в случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой.

Теорема 2 (Условия линейной зависимости).

Для того, чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов системы можно было представить в виде линейной комбинации остальных. Если подсистема векторов линейно зависима, то любая система векторов , включающая эту подсистему, линейно зависима. Если система векторов содержит нулевой вектор , то она линейно зависима.

Теорема 3 (О линейной зависимости векторов).

1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. 3. Четыре вектора всегда линейно зависимы.

Определение 6.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве.

Из теоремы 3 следует, что если в пространстве задан базис , то добавив к нему произвольный вектор , получим линейно зависимую систему векторов. В соответствии с теоремой 2 (1), один из них (можно показать, что вектор ) можно представить в виде линейной комбинации остальных:

.

Определение 7.

Числа называются координатами вектора в базисе (обозначается ).

Если векторы рассматриваются на плоскости, то базисом будет упорядоченная пара неколлинеарных векторов и координатами вектора в этом базисе – пара чисел: .

Замечание 3. Можно показать, что при заданном базисе координаты вектора определяются однозначно. Из этого, в частности, следует, что если векторы равны, то равны их соответствующие координаты, и наоборот.

Таким образом, если в пространстве задан базис, то каждому вектору пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (координаты вектора в этом базисе) и наоборот: каждой тройке чисел соответствует вектор.

На плоскости аналогичное соответствие устанавливается между векторами и парами чисел.

Теорема 4 (Линейные операции через координаты векторов ).

Пусть в некотором базисе вектор вектор и – произвольное число. Тогда в этом базисе 1) , 2) .

Иными словами: при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число; при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Пример 1. В некотором базисе векторы имеют координаты

Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они некомпланарны, следовательно (в соответствии с теоремой 3(2)) линейно независимы.

По определению 5 это означает, что равенство

(2)

возможно только в случае, когда .

Представляя координаты вектора в виде матрицы-столбца (см. гл. 1), перепишем (2) в виде

.

Приравнивая (согласно замечанию 3) соответствующие координаты, получим систему линейных однородных уравнений

.

Такая система всегда имеет нулевое решение ( ), и оно будет единственным, если определитель системы не равен 0 (см. ãë. 2, п.2). Здесь

Итак, (2) возможно только в случае, когда . Значит векторы образуют базис.

Обозначим – координаты вектора в базисе , то есть

или

Приравнивая координаты , получим систему

.

Решая ее (см. [3], п. 4), найдем

Значит в базисе вектор то есть

.

Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и длина каждого равна единице. Векторы ортонормированного базиса в пространстве принято обозначать ; на плоскости .