3.8Линейные пространства.

Определение 12.

Множество L называется линейным пространством, если для его элементов введены линейные операции: сложения и умножения на число , так что выполняются условия: I. L замкнуто относительно указанных операций: для любых и из , для любого и любого числа . II. Для любых из и любых чисел 1) , 2) , 3) в существует нулевой элемент , такой что , 4) для любого в существует противоположный элемент , такой что , 5) , 6) , 7) , 8) . Условия 1–8 называются аксиомами линейного пространства.

Замечание 6. В линейном пространстве можно определить разность элементов, полагая

,

где противоположный для элемент.

Геометрические векторы с введенными в п. 2 операциями сложения векторов и умножения вектора на число образуют линейное пространство, т. к. аксиомы 1–8 выполняются (теорема 1). Линейное пространство векторов на плоскости обозначают , в пространстве – .

Замечание 7. Абстрактное линейное пространство является обобщением понятия множества геометрических векторов и его теория строится по аналогии с теорией геометрических векторов. На основании этой аналогии, в частности, элементы линейного пространства принято называть векторами.

Векторы линейного пространства будем обозначать полужирными латинскими буквами: , числа – греческими буквами: .

Так же, как в п. 3, вводится понятие линейной комбинации системы векторов из , затем – линейной зависимости и независимости системы векторов. При этом сохраняют силу утверждения, сформулированные в теореме 2.

Определение 13.

Если в L существует система из n линейно независимых векторов, а любая система из большего числа векторов линейно зависима, то L называется n-мерным линейным пространством.

Теорема 13 (О размерности пространства).

Если в линейном пространстве L существует система из n линейно независимых векторов и любой вектор из L можно представить в виде линейной комбинации этих векторов, то L является n-мерным линейным пространством.

Из теоремы 3 (1, 2) следует, что пространство геометрических векторов на плоскости двумерно. Действительно, в два неколлинеарных вектора линейно независимы, а любые три вектора линейно зависимы, так как они компланарны. Аналогичными рассуждениями устанавливается, что – трехмерно.

Любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов n -мерного пространства L называется базисом этого пространства.

Из определения 13 и теоремы 2 (1), следует, что если базис n -мерного пространства L, то любой вектор из L можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

Числа называются координатами вектора в данном базисе. Будем записывать

С помощью аксиом (определение 12) устанавливается утверждение, аналогичное теореме 4: линейные операции над векторами сводятся к соответствующим операциям над их координатами.

Это обстоятельство является одним из основных мотивов в целесообразности и практической значимости введения абстрактных линейных пространств: векторы линейного пространства – элементы произвольной природы задаются набором чисел (координатами), линейные операции над элементами сводятся к арифметическим операциям над числами.

Задача 5. Проверить, являются ли линейными пространствами указанные множества:

а) множество R действительных чисел с обычным образом введенными операциями сложения и умножения;

б) множество Z целых чисел;

в) множество матриц размера , с операциями сложения и умножения матрицы на число (см. ãë. 1, п. п. 1, 2);

г) множество , элементами которого являются последовательности действительных чисел: , если

, ;

д) множество геометрических векторов, если операция умножения на число определена обычным образом, а под "суммой" векторов понимается их векторное произведение;

е) множество многочленов степени не выше n, если под суммой элементов и произведением элемента на число понимается сумма многочленов и произведение многочлена на число.

а). Множество действительных чисел R, очевидно, является линейным пространством: сумма и произведение любых действительных чисел – действительное число, так что требование I выполнено; аксиомы 1-8 также выполняются.

б). Множество Z целых чисел не замкнуто относительно операции умножения на число: например, при умножении целого числа на действительное произведение не принадлежит Z. Следовательно, Z не является линейным пространством.

в). Легко убедиться, используя свойства операций над матрицами (см. ãë. 1, п. 2), что требования I, II выполняются (нулевым элементом будет нулевая матрица размера , противоположным элементом для матрицы будет матрица (–1) ). – линейное пространство.

г). Множество – линейное пространство, т. к. оно, очевидно, замкнуто относительно операций сложения и умножения на число; аксиомы 1, 2, 5, 6, 7, 8 следуют из соответствующих арифметических операций над числами; если определить нулевой элемент и для элемента противоположный элемент , то, очевидно, выполняются аксиомы 3, 4.

Замечание 8. Пространство можно рассматривать как частный случай пространства при .

д). Множество замкнуто относительно операций умножения на число и сложения: для любых векторов и существует "сумма" и является вектором. Однако уже аксиома 1 не выполняется: (теорема 7, п. 2) и , если и не коллинеарны. Таким образом, не является линейным пространством.

е). Множество является линейным пространством: оно замкнуто относительно линейных операций и, очевидно, выполняются все аксиомы (нулевым элементом является многочлен, тождественно равный нулю, противоположным для многочлена

будет многочлен ).

Задача 6. Определить размерность пространств R, , , (см. задачу 5).

а). Если число , то равенство возможно только при , то есть в R существует линейно независимая система состоящая из одного вектора . Пусть и – любое число, принадлежащее R. Вектор можно представить в виде линейной комбинации вектора : , положив .

Итак, в R существует линейно независимая система из одного вектора и любой вектор можно представить в виде линейной комбинации . По теореме 13 R одномерное линейное пространство.

б). Рассмотрим систему из матриц – векторов пространства :

( – матрица размера , у которой , все остальные элементы равны нулю). Составим линейную комбинацию этих векторов с коэффициентами и приравняем ее нулевому элементу . Выполняя соответствующие операции, и учитывая, что нулевым элементом пространства является нулевая матрица, получим

,

откуда все . Таким образом, только тривиальная линейная комбинация системы векторов (14) равна нулевому вектору. Значит эта система векторов линейно независима.

Пусть

– любая матрица из . Очевидно ее можно представить в виде – линейной комбинации системы векторов (14).

Таким образом, по теореме 13 размерность пространства равна .

в). Пространство можно рассматривать как пространство матриц размера (матриц-строк). В соответствии с п. б, размерность равна , то есть .

г). Рассмотрим в систему из n+1 векторов

(15)

и приравняем ее линейную комбинацию нулевому элементу:

Многочлен слева тождественно равен нулю, значит все его коэффициенты равны нулю: . Следовательно система (15) линейно независима. Любой многочлен из

можно рассматривать как линейную комбинацию системы (15) с коэффициентами . Таким образом, по теореме 13, пространство n+1 – мерно.